Математика. Формулы сокращенного умножения

Основная задача формул сокращённого умножения

Формулы сокращённого умножения (ФСУ) нужны для того, чтобы умножать и возводить в степень числа, выражения, в том числе многочлены. То есть, при помощи формул можно работать с числами значительно быстрее и проще. Таким образом можно из сложного уравнения сделать обычное, что упростит задачу.

Вместе с запросом «формулы сокращённого умножения» часто ищут:

Нет рекомендованных страниц.

Группа формул: сумма степеней

Группа формул «Сумма степеней» составляет Таблицу 2. Эти формулы можно получить, выполняя вычисления в следующем порядке:

Группу формул «сумма степеней» можно получить также с помощью треугольника Паскаля и с помощью бинома Ньютона, которым посвящены специальные разделы нашего справочника.

      Таблица 2. – Сумма степеней

      Общая формула для вычисления суммы

(x   y)n

с произвольным натуральным значением   n рассматривается в разделе «Бином Ньютона» нашего справочника.

Доказательство фсу

Остановимся на доказательствах формул сокращённого умножения. Это не сложно. Нужно всего лишь раскрыть скобки. Рассмотрим на первой формуле – квадрат суммы:

Шаг первый.

Возведём a b во вторую степень. Для этого степень трогать не будем, а выполним банальное умножение: Шаг второй. Теперь Шаг второй. Теперь Шаг третий. Раскрываем скобки:Шаг третий. Раскрываем скобки:Шаг четвёртый. Умножаем, не забывая о знаках: Шаг четвёртый. Умножаем, не забывая о знаках: Шаг пятый. Упрощаем выражение:

Точно так же можно доказать абсолютно любую формулу сокращённого умножения.

Другие формулы сокращённого умножения:

(a b-c)2=a2 b2 c2 2ab-2ac-2bc

Куб суммы двух чисел

(a b)3=a3 3a2b 3ab2 b3 (куб суммы двух чисел)

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго плюс куб второго числа.

        (a b)3 = a3 3a2b 3ab2 b3

Пример выражения:

a)  (m 2n)3=m3 3·m2·2n 3·m·(2n)2 (2n)3=m3 6m2n 12mn2 8n3

б)  (3x 2y)3=(3x)3 3·(3x)2·2y 3·3x·(2y)2 (2y)3=27×3 54x2y 36xy2 8y3

Куб разности двух чисел

(a-b)3=a3-3a2b 3ab2-b3 (куб разности двух чисел)

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе число плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго числа минус куб второго числа.

(a-b)3=a3-3a2b 3ab2-b3

Пример выражения:

а)  (2x–y)3=(2x)3-3·(2x)2·y 3·2x·y2–y3=8×3–12x2y 6xy2–y3

б)  (x–3n)3=x3-3·x2·3n 3·x·(3n)2–(3n)3=x3–9x2n 27xn2–27n3

Сумма кубов двух чисел

a3  b3 = (a b)(a2 — ab b2) (сумма кубов)

Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы самих чисел на неполный квадрат их разности.

a3 b3 = (a b)(a2–ab b2)

Пример выражения:

a)      125   8×3 = 53  (2x)3 = (5   2x)(52 — 5·2x  (2x)2) = (5 2x)(25 – 10x 4×2)

б)  (1 3m)(1 – 3m 9m2) = 13  (3m)3 = 1 27m3

Разность кубов двух чисел

a3 — b3 = (a — b)(a2  ab b2) (разность кубов)

Разность кубов двух чисел равна произведению разности самих чисел на неполный квадрат их суммы.

 a3-b3 = (a-b)(a2 ab b2)

Пример выражения:

а) 64с3 – 8 = (4с)3 – 23 = (4с – 2)((4с)2   4с·2   22) = (4с – 2)(16с2  8с 4)

б) (3a – 5b)(9a2  15ab 25b2) = (3a)3 – (5b)3 = 27a3 – 125b3

Формула для нахождения четвертой степени суммы двух чисел имеет вид:

(a b)4 = a4  4a3b 6a2b2  4ab3  b4

Формула для нахождения четвертой степени разности двух чисел имеет вид:

(a — b)4 = a4 — 4a3b 6a2b2 — 4ab3  b4

Данные формулы сокращённого умножения доказываются путём раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых.

Как сократить формулы сокращённого умножения?

Квадрат суммы двух чисел:

В алгебре приведение целого выражения к стандартному виду многочлена осуществляется с помощью формул сокращённого умножения.

(a b)2=(a b)(a b)=a2 2ab b2=a2 ab ab b2=a2 2ab b2 (квадрат суммы двух чисел)

Выражение (a b)2 — это квадрат суммы чисел a и b. По определению степени выражение (a b)2 представляет собой произведение двух многочленов (a b)(a b). Следовательно, из квадрата суммы мы можем сделать выводы, что

(a b)2=(a b)(a b)=a2 ab ab b2=a2 2ab b2,

т. е. квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа, плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Из правила следует, что общая формула квадрата суммы, без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:

(a b)2=a2 2ab b2

Многочлен a2 2ab b2 называется разложением квадрата суммы.

Так как a и b обозначают любые числа или выражения, то правило даёт нам возможность сокращённым путём возводить в квадрат любое выражение, которое может быть рассмотрено как сумма двух слагаемых.

Пример. Возвести в квадрат выражение 3×2 2xy.

Решение: для того чтобы нам не производить лишних преобразований, воспользуемся формулой квадрата суммы двух чисел. У нас должна получиться сумма квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа:

(3×2 2xy)2=(3×2)2 2(3×2 · 2xy) (2xy)2

А сейчас, используя правило умножения и возведения в степень одночленов, упростим это выражение:

(3×2)2 2(3×2 · 2xy) (2xy)2=9×4 12x3y 4x2y2

Квадрат разности двух чисел:

(a — b)2 = a2 — 2ab b2 (квадрат разности двух чисел)

Выражение (a—b)2 — это квадрат разности чисел a и b. Выражение (a—b)2 представляет собой произведение двух многочленов (a—b)(a—b). Следовательно, из квадрата разности мы можем сделать выводы, что

(a—b)2=(a—b)(a—b)=a2—ab—ab b2=a2-2ab b2,

т. е. квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Из правила следует, что общая формула квадрата разности, без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:

(a—b)2=a2-2ab b2

Многочлен a2-2ab b2 называется разложением квадрата разности.

Это правило применяется к сокращённому возведению в квадрат выражений, которые могут быть представлены как разность двух чисел.

Пример. Представьте квадрат разности двух чисел в виде трёхчлена:

(2a2-5ab2)2

Решение: используя формулу квадрата разности двух чисел находим:

(2a2-5ab2)2 = (2a2)2-2(2a2 · 5ab2) (5ab2)2

Теперь преобразуем выражение в многочлен стандартного вида:

(2a2)2-2(2a2·5ab2) (5ab2)2 =4a4— 20a3b2 25a2b4

Разность квадратов двух чисел

a2-b2=(a b)(a-b) (разность квадратов двух чисел)

Выражение a2—b2 — это разность квадратов чисел a и b. Выражение a2—b2 представляет собой сокращённый способ умножения суммы двух чисел на их разность:

(a b)(a—b)=a2 ab—ab—b2=a2—b2,

т. е. произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.

Из правила следует, что общая формула разности квадратов выглядит так:

a2—b2=(a b)(a —b)

Это правило применяется к сокращённому умножению таких выражений, которые могут быть представлены: одно — как сумма двух чисел, а другое — как разность тех же чисел.

Пример. Преобразуйте произведение в двучлен:

(5a2 3)(5a2-3)

Решение:

(5a2 3)(5a2-3)=(5a2)2-32=25a4-9

В примере мы применили формулу разности квадратов справа налево, то есть нам дана была правая часть формулы, а мы преобразовали её в левую:

(a b)(a—b)=a2— b2

При решении практических примеров в алгебре зачастую применяют формулы сокращённого умножения с переставленными местами левыми и правыми частями. Это особенно удобно, когда имеет место разложение многочлена на множители. На практике первые три формулы применяются как слева направо, так и справа налево, в зависимости от конкретной ситуации.

Формулы сокращённого умножения частенько называют тождествами сокращённого умножения. И здесь нет ничего удивительного, так как каждое равенство представляет собой тождество.

Сумма квадратов двух чисел бывает двух типов:

a2 b2=(a bi)(a-bi)

           OR.

(1) a2 b2=(a b)2-2ab (сумма двух квадратов)

= a² 2ab b²-2ab

= a² b²

=> LHS = RHS

Значит доказали!

(2). a² b² = (a-b)² 2ab

= a²-2ab b² 2ab

=> LHS = RHS

Значит доказано!

Следовательно, a² b²=(a b)²-2ab

‘OR’

a² b²=(a-b)² 2ab

Квадрат многочлена

Следующая формула применяется достаточно часто и называется «Квадрат многочлена»:

Куб трёхчлена

Следующая формула называется «Куб трёхчлена»:

(x   y z)3 = x3   y3   z3  3x2y   3x2z  3xy2   3xz2   3y2z  3yz2  6xyz

Примеры и решения с помощью фсу

Как правило, эти семь формул применяются тогда, когда нужно упростить выражение, чтобы решить какое-либо уравнение и даже обычный пример.

Итак, как видно, ничего сложно в примерах нет. Главное, знать формулы, где их можно применять, а где можно обойтись и без них.

Полезные источники

1. Арефьева И. Г., Пирютко О. Н. Алгебра: учебник пособие для 7 класса учреждений общего среднего образования: Минск “Народная Асвета”, 2022 – 304 с.
2. Никольский С. М., Потапов М. К. Алгебра 7 класс: М: 2022 – 287 с.
3. Рубин А. Г., Чулков П. В. Алгебра. 7 класс. М: 2022 – 224 с.

Разность степеней

      Если в формулах из Таблицы 2 заменить  y  на  – y ,  то мы получим группу формул «Разность степеней» (Таблица 3.):

      Таблица 3. – Разность степеней

Таблица формул сокращённого умножения для учеников 7 классов

Рассмотрим семь основных формул сокращённого умножения, которые изучают ученики на уроках алгебры в 7 классе:

Произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел:

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа:

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа:

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго плюс куб второго числа:

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго числа:

Выражение в алгебре принято называть неполным квадратом разности. Если умножить сумму двух чисел на неполный квадрат разности этих чисел, то получим формулу суммы кубов.

Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на их неполный квадрат разности:

Выражение в алгебре, принято называть неполным квадратом суммы. Если умножить разность двух чисел на неполный квадрат суммы этих чисел, то получим формулу разности кубов.

Разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел на их неполный квадрат суммы: