- Когда необходимо применять основные правила и свойства дробей
- Вынесение общего множителя при сокращении дробей
- Как сократить дробь с многочленами
- Калькулятор сокращения дробей
- Можно сокращать
- Нельзя сокращать
- Неправильно
- Пояснение на примерах
- Правильно
- Работа с пропорциями
- Сокращение алгебраических дробей с помощью формул сокращенного умножения
- Сокращение алгебраической дроби
- Сокращение дробей
- Сокращение дробей с помощью формул сокращенного умножения
- Выводы: собираем все вместе
Когда необходимо применять основные правила и свойства дробей
- Основное свойство нужно применять в тех случаях, когда дробное число необходимо привести к наименьшему значению для знаменателя и числителя.
- Данное свойство играет огромную роль при сокращении дробей и приведения из более простому и удобному виду.
- Основное свойство дробей применяется только в случаях когда дроби являются сократимыми в числителе и в знаменателе нет простых чисел следующего типа: [frac{1}{3}].
Вынесение общего множителя при сокращении дробей
Чтобы в алгебраических дробях появились одинаковые многочлены иногда нужно
вынести общий множитель за скобки.
Рассмотрим пример.
В таком виде сократить алгебраическую дробь нельзя, так как многочлен«(3f k)» можно сократить только со многочленом «(3f k)».
Поэтому, чтобы в числителе получить «(3f k)»,
вынесем общий множитель «5».
Как сократить дробь с многочленами
Рассмотрим другой пример алгебраической дроби. Требуется сократить алгебраическую дробь, у которой в числителе стоит многочлен.
Ни в коем случае нельзя сокращать часть многочлена внутри скобок!
Калькулятор сокращения дробей
Популярные статьи
Можно сокращать
Другие примеры сокращения алгебраических дробей.
Нельзя сокращать
Неправильно
Пояснение на примерах
Рассмотрим решения нескольких контрольных примеров по упрощению дробей. В качестве подготовки можно попробовать решить предлагаемые примеры самостоятельно.
Тренажер. Соедините соответствующие карточки с формулами сокращенного умножения.
Правильно
Определить, где заканчивается многочлен, очень просто. Между многочленами может быть только знак умножения.
Весь многочлен находится внутри скобок.
После того, как мы определили многочлены алгебраической дроби, сократим многочлен
«(m − n)» в числителе с многочленом «(m − n)»
в знаменателе.
Примеры сокращения алгебраических дробей с многочленами.
Работа с пропорциями
Еще одно проблемное место — пропорции. Особенно когда переменная стоит с обеих сторон. Например:
Неправильное решение — у некоторых буквально руки чешутся сократить все на m :
Сокращаемые переменные показаны красным. Получается выражение 1/4 = 1/5 — полный бред, эти числа никогда не равны.
А теперь — правильное решение. По существу, это обыкновенное линейное уравнение. Решается либо переносом всех элементов в одну сторону, либо по основному свойству пропорции:
Многие читатели возразят: «Где ошибка в первом решении?» Что ж, давайте разбираться. Вспомним правило работы с уравнениями:
Любое уравнение можно делить и умножать на любое число, отличное от нуля.
Просекли фишку? Можно делить только на числа, отличные от нуля. В частности, можно делить на переменную m , только если m != 0. А что делать, если все-таки m = 0? Подставим и проверим:
Получили верное числовое равенство, т.е. m = 0 — корень уравнения. Для остальных m != 0 получаем выражение вида 1/4 = 1/5, что, естественно, неверно. Таким образом, не существует корней, отличных от нуля.
Сокращение алгебраических дробей с помощью формул сокращенного умножения
На практике часто встречаются дроби, в числителе и знаменателе которых имеются выражения в различной степени, например, квадратные, кубические.
Для таких выражений используют формулы сокращенного умножения.
Приведем упомянутые тождества:
Разность квадратов: a2-b2=(a-b)(a b)
Квадрат суммы: (a b)2=a2 2ab b2
Квадрат разности: (a-b)2=a2-2ab b2
Сумма кубов: a3 b3=(a b)(a2-ab b2)
Разность кубов: a3-b3=(a-b)(a2 ab b2)
Куб суммы: (a b)3=a3 3a2b 3ab2 b3
Куб разности: (a-b)3=a3-3a2b 3ab2-b3
Сокращение алгебраической дроби
Алгебраическую дробь можно сокращать. При сокращении
пользуются правилами
сокращения обыкновенных дробей.
Напоминаем, что при сокращении обыкновенной дроби мы делили и числитель, и знаменатель на одно и тоже число.
Алгебраическую дробь сокращают таким же образом, но только числитель и знаменатель делят
на один и тот же многочлен.
Рассмотрим пример сокращения алгебраической дроби.
Определим наименьшую степень, в которой стоит одночлен «a» .
Наименьшая степень для одночлена «a» находится в знаменателе — это вторая степень.
Разделим, и числитель, и знаменатель на «a2».
При делении одночленов используем
свойство степени частного.
Напоминаем, что любая буква или число в нулевой степени — это единица.
Нет необходимости каждый раз подробно записывать, на что сокращали алгебраическую дробь. Достаточно держать в уме
степень, на которую сокращали, и записывать только результат.
Краткая запись сокращения алгебраической дроби выглядит следующим образом.
Сокращение дробей
На этом уроке мы закрепим основное свойство дроби. Рассмотрим применение этого свойства на практике для сокращения дробей. Покажем связь между сокращением дробей и НОД числителя и знаменателя дроби. Сформируем понятие несократимой дроби.
Повторим формулировку основного свойства дроби.
Если числитель и знаменатель дроби
умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная
ей дробь.
Например
Обратите внимание, с помощью основного свойства
дроби можно упрощать дроби, заменяя одну дробь другой, равной данной, но с
меньшим числителем и знаменателем.
Например
Такое преобразование называется сокращением дроби.
Определение
Деление числителя и знаменателя дроби на одно и то
же, не равное нулю, число, называется сокращением дроби.
Либо можно сократить дробь сразу на 6.
Не всякую дробь можно сократить!
Например
Определение
Значит, сокращение дроби можно провести тогда
и только тогда, когда её числитель и знаменатель не являются взаимно простыми
числами.
Если же числитель и знаменатель дроби
взаимно просты, то дробь сократить нельзя.
Такие дроби называются несократимыми дробями.
Например
Задание
Сократить дробь 
.
Сокращение закончено.
Кроме того, сокращение дробей можно упростить
с помощью нахождения НОДа числителя и знаменателя дроби.
Например
Значит, дробь 
можно
сократить на 18. Получим
Задание
Отметим на координатном луче точку А с координатой 
.
Итоги
Деление числителя и знаменателя дроби на одно и то
же, не равное нулю, число, называется сокращением дроби.
Если же числитель и знаменатель взаимно просты, то
дробь сократить нельзя. Такие дроби называются несократимыми дробями.
Сокращение дробей с помощью формул сокращенного умножения
В других примерах для сокращения алгебраических дробей требуется
применение формул сокращенного умножения.
В первоначальном виде сократить алгебраическую дробь нельзя, так как нет одинаковых многочленов.
Но если применить формулу разности квадратов
для многочлена «(a2 − b2)», то одинаковые многочлены появятся.
Другие примеры сокращения алгебраических дробей с помощью формул сокращенного умножения.
Выводы: собираем все вместе
Итак, для решения дробно-рациональных уравнений помните три правила:
- Сокращать можно только множители. Слагаемые — нельзя. Поэтому учитесь раскладывать числитель и знаменатель на множители;
- Основное свойство пропорции: произведение крайних элементов равно произведению средних;
- Уравнения можно умножать и делить только на числа k , отличные от нуля. Случай k = 0 надо проверять отдельно.
Помните эти правила и не допускайте ошибок.
