Расставляя все точки над «пси» / Хабр

«пси» — — все сокращения россии!

Где взять понимание

Но если квантовая механика — это не физика в обычном смысле, если она не занимается ни веществом, ни энергией, ни волнами, ни частицами, то чем же она занимается? С моей точки зрения, она занимается информацией, вероятностями, наблюдаемыми величинами и тем, как они соотносятся друг с другом.
Скотт Ааронсон

В нашу эпоху доступной информации важно умение отделять зерно от плевел. Чтобы оперировать определенными образами, нужно рассмотреть проблему с разных ракурсов ознакомившись с точками зрения нескольких авторов. Еще нужно много практики. Квантовая теория это в первую очередь инструмент, а не философское течение, где каждый волен озвучить свое мнение. Для использования этого сложного инструмента нужны инструкции и учителя.

Гуго Штейнгауз как-то сказал: «математик сделает это лучше». Под «это» подразумевается всё. Оно и понятно, ведь занятие точными науками есть многогранная тренировка мышления и привнесение в ум дисциплинированности. Так что, без должных навыков из линейной алгебры, дифференциального исчисления и математической логики с теорией алгоритмов путь в теоретическую физику закрыт.

Только разобравшись со вспомогательными инструментами из матана и с основами классической физики (механика, электродинамика, оптика, статы) можно приступать к квантам. Тут не сдержусь порекомендовать литературу «которая навсегда перевернет ваше сознание»

• Иванов М.Г. Как понимать квантовую механику 2022 (Название говорит само за себя. В книге можно найти теоретический минимум и выжимку из философских рассуждений)
• Тихонов Д. Теоретическая химия: внутри чёрного ящика (Неформальная методичка. Кого-то может отпугнуть лукморовский стиль изложения, кого-то, наоборот, привлечь. Наиболее ценна из-за ликбеза по основным материалам и кропотливых выкладок, а также раскрытия важных аспектов химической физики)
• Блохинцев Д.И. Принципиальные вопросы квантовой механики 1966 (Большой упор на философию и методологию. Лично мне понравился вход в тему со стороны статистической физики)
• Бом Д. Квантовая теория 1952 (Потряснейший учебник от товарища Бома, изданный им до перехода на темную сторону. Вход в тему со стороны электродинамики и постоянные поиски смысла. Особенно интересно идет с нападками редактора русского издания Вонсовского)
• Дирак П. Принципы квантовой механики 1958 (Одна из тех редких книг, которую хочется иметь в бумажном виде, чтобы читать по вечерам у камина)
• Балашов В.В. Курс квантовой механики 2001 (Хороша задачками и некоторыми аспектами не раскрытыми в других учебниках)
• Фейнман Р. Статистическая механика курс лекций (Много крутых тем, но требует основательный бэкграунд по матану)
• Флюгге З. Задачи по квантовой механике 1974 (Ну а вы как хотели? Полистать оглавления и все? Еще надо задачки решать!)
• Хренников А.Ю. Введение в квантовую теорию информации 2008 (Это для встряски)
• Jon Magne Leinaas Modern Quantum Mechanics 2022 (Современно, без воды, я б сказал хороший скелет)
• David J. Griffiths Introduction to Quantum Mechanics 2004 (А здесь уже с мясцом и философией)
• Ну и в прошлой публикации есть список литературы по квантовым вычислениям, там как правило присутствует ликбез по теме

Если вы не проявляли усилий для основательного освоения материала, то будьте честны хотя бы с собой — вы сторонний наблюдатель и нефига в квантах не смыслите. Не встревайте в споры, не выдвигайте теории и уж тем более не учите окружающих. Ну да, это наболевшее.

Ладно здесь на хабре и еще много на каких технических форумах и тематических группах проскакивает дичь, порожденная необразованностью автора, но когда два профессора подряд на лекциях по философии упраздняли квантовую механику и теорию относительности, тут уж мне многое пришлось переосмыслить.

Однако же, на время отвлечемся от пространных разговоров и поработаем руками.

Тот самый кот

Я напомню, что во время одной прогулки Эйнштейн неожиданно остановился, повернулся ко мне и спросил, действительно ли я верю, что Луна существует только тогда, когда я смотрю на нее. Оставшаяся часть прогулки была посвящена обсуждению того, что физик должен понимать под словом «существовать».
А. Пэ

Часто кота Шрёдингера используют для нагнетания мистицизма. Этот мысленный эксперимент раздувают до парадокса, им пытаются объяснять сложность и противоречивость квантовой механики или даже утверждают, что ее суть передается этим мемом. В зависимости от уровня абстрактного и критического мышления люди застревают на разных этапах: кто-то начинает спор на счет пола животного, кто-то плачет, что кису жалко, некоторые начинают прикапываться к деталям установки, многие спорят о роли наблюдателя…

С наблюдением вообще отдельная история. В экспериментах под процессом наблюдения понимается взаимодействие исследуемой системы с измерительным прибором. Наблюдателем можно считать и газоразрядный счетчик Гейгера и фотодетектор с мультиметром, а не только человека слушающего треск и видящего показания на дисплее.

Для квантовых систем важна их чистота достигаемая изоляцией от внешних воздействий. Именно тогда на достаточно больших временах эволюцию можно описывать уравнением Шрёдингера. Если вы, скажем, поставили детектор возле одной из щелей в опыте Юнга, то получается вы привнесли в систему наблюдателя — многочастичную хреновину ограничивающую пространственные степени свободы исследуемых объектов.

Опять же, нюансы это вопрос интерпретации, но с точки зрения матаппарата всё довольно согласовано и пригодно для практических применений. К слову, если уж совсем не хочется работать с литературой и привычней разжеванный видеоконцентрат, то можно посмотреть хотя бы на материалы по теме от ребят из физтеха.

Вернемся к котикам. Объяснения этого эксперимента желательно смотреть не по бложикам и видосикам, а в крепкой литературе. Возможно вы заметите, что во многих монографиях мысленные эксперименты и философия поднимаются в конце, уже после изложения необходимого формализма.

Тогда уже приходит понимание, что и кот и ЭПР возникли во времена, когда терминология только формировалась и многим хотелось таким образом выразить свое недовольство какими-либо нюансами. В частности Шредингер с котом хотели заострить внимание на грани между микро- и макро-.

Источником проблемы является неопределенность, связанная со статистической интерпретацией волновой функции, которая однозначно не определяет результат измерения. Все, что она дает, — это статистическое распределение возможных результатов.

В связи с этим возникает глубокий вопрос: действительно ли физическая система «имела» рассматриваемый атрибут до измерения (так называемая реалистическая точка зрения), или же сам акт измерения «создал» это свойство, ограниченное лишь амплитудой вероятности (ортодоксальная позиция). Или же мы можем списав на метафизику сказать, что никакого смысла в этих спорах нет (агностика ответ).

Согласно реализму, квантовая механика — это неполная теория, ибо даже если вы знаете все, что квантовая механика может рассказать вам о системе, вы все равно не можете определить все ее особенности. Очевидно, существует и другая информация, внешняя по отношению к квантовой механике, которая необходима для полного описания физической реальности. Тут уже появляются теории со скрытыми переменными, парочку из которых вместе с неравенствами Белла рассмотрим позже.

Ортодоксальная позиция поднимает еще более тревожные проблемы, ибо если акт измерения заставляет систему «занять позицию», помогая создать атрибут, которого раньше не было, то в процессе измерения есть что-то очень своеобразное. Более того, чтобы объяснить тот факт, что немедленно повторенное измерение дает тот же самый результат, мы вынуждены предположить, что акт измерения разрушает волновую функцию таким образом, который в лучшем случае трудно согласовать с нормальной эволюцией, предписанной уравнением Шредингера.

Уравнение шредингера

Таким образом, основные физические законы, необходимые для математической теории значительной части физики и всей химии, полностью известны, и трудность заключается лишь в том, что точное применение этих законов приводит к уравнениям, которые слишком сложны, чтобы быть разрешимыми. Поэтому становится желательным разработать приближенные практические методы применения квантовой механики, которые могут привести к объяснению основных особенностей сложных атомных систем без слишком больших вычислений.
П. ДиракВ наиболее общем случае эволюцию (переход между состояниями) абстрактной системы можно описать взаимно-однозначными афинными преобразованиями фазового пространства: U, мы имеем S на себя, то есть, обратимую эволюцию. При обратимой эволюции чистые состояния переходят в чистые, при этом вектор исходного чистого состояния

Для непрерывной однопараметрической группы унитарных операторов удовлетворяющей условиям:

работает теорема Стоуна

где H — эрмитов оператор, а параметр t обычно играет роль времени. И вот, для векторов чистых состояний

Тем кто полюбил линейную алгебру занимаясь компьютерной графикой (привет пользователям OpenGL), уравнение как бы намекает, что эволюция чистой квантовой системы это повороты вектора состояния путем умножения на матрицу-гамильтониан.

Формально, уравнение Шредингера ни откуда не выводится, будучи в нерелятивистской квантовой механике наиболее общим. Оно постулируется как обобщение экспериментов. Хотя, в книге Бома можно посмотреть довольно органичный способ его получения на основе выражения волны для свободной частицы.

Практически вся волновая теория заключена в волновом уравнении, если мы знаем, как интерпретировать волновую функцию. Уравнение Шредингера является математическим выражением корпускулярно-волнового дуализма микрочастиц. В предельном случае, когда длины волн де Бройля значительно меньше размеров рассматриваемого движения, уравнение Шредингера позволяет описывать движение частиц по законам классической механики.

С математической точки зрения — это дифференциальное уравнение в частных производных, которое имеет множество решений. В каждой конкретной задаче из этого множества следует выбрать одно решение, отвечающее условиям задачи.

С физической точки зрения нужно отметить, что согласно уравнению Шредингера волновая функция изменяется детерминировано, то есть совершенно однозначно. В этом смысле квантовая механика напоминает классическую, в которой движение системы заранее предопределено начальными условиями. Однако сама волновая функция имеет вероятностный смысл.

Наконец, необходимо отметить важную особенность уравнения Шредингера: оно линейно. Волновая функция и ее производные входят в него в первой степени и для волновых функций справедлив принцип суперпозиции. Он позволяет сложные модели разбивать на подзадачи.

Факторизуя волновую функцию на временную и на пространственные компоненты получаем одномерное стационарное Уравнение Шредингера

Это ни что иное, как задача на собственные значения оператора Гамильтона. Энергия – одна из наблюдаемых, следовательно, это уравнение на допустимые наблюдаемые значения энергии и на соответствующие им состояния системы. Получим общее решение для нулевого потенциала:

Теперь знай себе, подставляй граничные и начальные условия в зависимости от задачи. Так можно получить, например, аналитическое выражение для свободной частицы в потенциальной яме, дающее вероятности локализации в некотором пространстве

К этой модели сводится, например, движение

Если же учитывать внешний потенциал (а он разнится в зависимости от среды) то волновую функцию в некой слоистой структуре можно представить в виде:

Используя граничные условия и довольно красивый метод матриц переноса получаем спектр и собственные функции для последовательности произвольных постоянных потенциалов

Этой же методой выуживают значения энергии резонансных переходов электронов в слоисто-неоднородных средах.

Чтобы не перегружать страницу формулами и кодом укажем ссылки на исходники и pdf-аналоги: раздва

Численные методы

Очень хорошо когда задача сводится к известной модели. Но не всегда удается получить аналитическое решение. Поэтому в квантмехе найдется работа не только чистым теоретикам, но и грязным числодробителям. Уравнение Шредингера вполне себе типичная дифура, для которых разработана уйма методов. Поиграем с одним из них.

Разностная аппроксимация по времени уравнения Шредингера с использованием метода Кранка-Николсона имеет вид:

Которую можно переписать в виде:

В одномерном случае конечно-разностная схема по координате расписывается как:

Это соответствует построению для гамильтониана разреженной матрицы. Например, для

Вот и все, теперь достаточно задать начальный волновой пакет, вид потенциального барьера, взять побольше шагов по времени и координате и пожалуйста — анимации квантовых явлений рассчитанные силами вашего пк:

Исходники

Еще может быть интересна имплементация расщепления шага Фурье и решение несколькими методами нелинейного уравнения Шредингера находящего применение в физике плазмы, в частности при моделировании нелинейных быстрых магнитозвуковых волн в корональных магнитных трубках.

Но разумеется не все так радужно. Чем больше объектов в изучаемой системе, тем сложнее будет модель. Например, для молекулы воды в оператор Гамильтона будут входить импульсы трех ядер (два ядра водорода и одно кислорода) и 10 электронов, а также потенциалы кулоновского взаимодействия всех пар частиц:

И какой же ужас нас ждет когда мы захотим промоделировать элементарную химическую реакцию веществ в этой воде растворенных — каждый электронный переход происходит с оглядкой на наведенное поле, в свою очередь влияя на окружающие дипольные моменты молекул воды. А если же вам вздумается моделировать геометрию органических молекул…

И тут на помощь приходят семиэмпирические и квазиклассические методы, а также уйма эвристик, упрощений и хитрых солверов.

Метан собранный усилиями Gamess
Структура 5XER обсчитанная с учетом окружения

Такого жанра расчеты часто проводятся при проектировании микроэлектроники, в материаловедении, дефектоскопии, медицине и общей химии, то есть в плане практики детище умов двадцатого века находит все больше применений.

Если кто-то проталкивает мысль, что волновая механика бесполезна или ничего не объясняет, то значит для него это слишком сложно. Все еще надеюсь, что экзамен по философии пройдет в устной форме, уж тогда-то можно будет отыграться за всю ту боль, что эти гуманитарии причиняли на лекциях 🙂

Однако, перейдем к самым спорным мысленным и реальным экспериментам.

Эксперимент штерна—герлаха

Хотя наибольшую популярность у общественности снискал опыт Юнга с двухщелевым интерферометром, зарекомендовавшийся как самый контринтуитивный подарок микромира, лично мне больше нравится в этом плане эксперимент Штерна—Герлаха 1922 года

Из печи выпускаются быстрые атомы серебра, которые проходя через сильное магнитное поле образуют на экране зеркальное напыление. Атомы металлов имеют сложную структуру, поэтому для пущей наглядности можно брать водород. Из-за движения электрона в окрестности атома должен возникать магнитный момент, и напрашивается предположение, что в магнитном поле атом ведет себя как маленький магнитик.

Имея произвольную начальную ориентацию наши магнитики, испытывая отклонение при прохождении внешнего поля, должны распределиться на экране более-менее равномерно. Не тут-то было! На экране будут кучки, которые можно посчитать по пальцам, а значит магнитные свойства квантуются. Пришлось вводить спин — собственный момент — дающий, наряду с орбитальным, вклад в полный момент атома.

И вот измеряя, скажем, Z компоненту мы получаем на выходе из установки два пучка. Видимо электроны делятся на два сорта: на мальчиков и девочек. Теперь затащим в лабораторию

рояль и минибар

еще одну установку и опрокинем ее набок супротив первой, так чтобы на вход второй подавался один из потоков струящихся из первой.

И на выходе получаем опять два пучка. То есть в новом ортогональном направлении тоже есть свой вклад. Ну ладно, девочки бывают разные… Занесем

пилоны и лаборанток

еще установку и сориентируем вертикально пристроив к первым двум

И опять на выходе два пучка! Это пошатывает убежденность, что спин является объективной характеристикой, которая может существовать до взаимодействия с экспериментальной установкой. Надеюсь, вы достаточно заинтригованы. Подробные детали и обсуждение результатов каскадного эксперимента Штерна-Герлаха в рамках кубитной модели читайте в книге Квантовые вычисления и квантовая информация М. Нильсен, И. Чанг. Возможно, мы потом вернемся к этому опыту в рамках различных интерпретаций.

(todo: поискать эксперименты с различным временем пребывания в МП)