Передаточная функция онлайн

Содержание

4 Апериодическое звено второго порядка
Амплитудная характеристика усилителя
Амплитудно-частотная характеристика (ачх) и фазо-частотная характеристика (фчх) усилителя.
Классификация усилителей
Передаточная функция онлайн
Переходная характеристика усилителя
По роду усиливаемого сигнала
По функциональному назначению
По частоте усиливаемого сигнала:

4 Апериодическое звено второго порядка

Апериодическое звено выведем на уже известном примере. Мы разбирали вывод уравнений динамики демпфера в этой лекции. Но повторенье — мать ученья. Сначала будет много жесткой математики, а в конце наглядные модели.

У нас есть модель механического демпфера. Это поршень на пружине, он движется внутри цилиндра, может перемещается вверх-вниз. Его положение – это интересующая нас функция Y(t), сверху на него воздействует возмущающая сила (U(t)), на стенках поршня действует сила вязкого трения. (См. рис. 3.4.1)

Рисунок 3.4.1. Расчетная схема амортизатора.

Выведем передаточную функцию для этого звена. Согласно 2-му закону Ньютона ускорение тела пропорционально сумме сил, действующих на тело:

$m cdot frac{d^2Y(t)}{dt} = sum F_j = P U(t) F_{пр} F_{тр}$

Считаем, что в нулевой момент времени поршень находится в равновесии. Тогда начальное положение поршня — y0 в равновесии, где скорость и ускорения равны 0, можно посчитать из уравнения 2.

$0 = m cdot g u_0-k cdot y_0 Rightarrow y_0= frac{1}{k} [mcdot g u_0]$

Перепишем уравнение равновесия в отклонениях от нулевого состояния:

$m cdot frac{d^2 y(t)}{dt^2} = underbrace { m cdot g u_0} u(t)-underbrace {k cdot y_0} -kcdot y(t) - c cdotfrac{dy(t)}{dt}$

Поскольку мы приняли, что в начальный момент у нас состояние равновесия, а сумма трех сил в состоянии равновесия равна нулю, их можно убрать из уравнения, и в итоге получим:

Приведем данное уравнение к классическому виду:

$underbrace{frac{m}{k}}_{T_2^2}cdot y''(t) underbrace{frac{c}{k}}_{T_1}cdot y'(t) y(t)=underbrace{frac{1}{k}}_K cdot x(t)$

Уравнение динамики апериодического звена 2−го порядка имеет следующий вид:

$T_2^2 cdot y''(t) T_1 cdot y'(t) y(t)=K cdot x(t) mathbf{(3.4.1)}$

при этом:

$D = T_1^2-4 cdot T_2^2 ge 0 mathbf{(3.4.2)}$

Если D<0, то звено становится колебательным (см. раздел 3.5)

Переходя к изображениям $(T_2^2cdot s^2 T_1 cdot s 1) cdot Y(s) = K cdot X(s) mathbf{(3.4.3)}$

Передаточная функция звена может быть представлена в двух видах:

$W(s) = frac{Y(s)}{X(s)}= frac{K}{T_2^2 cdot s^2 T_1 cdot s 1} iff frac{K}{(T_3 cdot s 1)(T_4 cdot s 1)} mathbf{(3.4.4)}$

где:

$T_3 = frac{T_1-sqrt{D} }{2} ; T_4 = frac{T_1 sqrt{D}}{2}$

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ):

$W(i cdot omega) = W(s)|_{s =i cdot omega} =frac{K}{(1 i cdot T_3 cdot omega)(1 i cdot T_4 cdot omega)} Leftrightarrow frac{K}{(1-T_2^2 cdot omega^2) i cdot T_1 cdot omega} mathbf{(3.4.5)}$ $W(icdotomega) = frac{K(1- i cdot T_3 cdot omega)(1- i cdot T_4 cdot omega)}{(1 T_3^2 cdot omega^2)(1 T_4^2cdot omega^2)} =$

Действительная и мнимая части передаточной функции:

$u(omega) = frac{K(1- T_3 cdot T_4 cdot omega^2)}{(1 T_3^2 cdot omega^2)(1 T_4^2 cdot omega^2)}; v(omega) = -frac{K(T_4 T_3)omega}{(1 T_3^2 cdot omega^2)(1 T_4^2 cdot omega^2)} mathbf{(3.4.6)}$ $lim_{omega to 0} u(omega) = K; lim_{omega to infty}u(omega) = 0$

Модуль АФЧХ (амплитуда), то есть mod(W(i·ω)) = |W(i·ω)| из формулы 3.4.5:

$A(omega) = |W(icdot omega) | = left | frac{K}{(1 icdot T_3 cdot omega)(1 i cdot T_4cdot omega)} right | = frac{K}{sqrt{1 T_3^2 cdot omega^2}cdot sqrt{1 T_4^2cdot omega^2}} mathbf{(3.4.7)}$

Подставляя в формулы (3.4.6) или в формулу (3.4.5) различные значения ω можно построить векторы, соответствующие различным значениям ω:

Рисунок 3.4.3 Годограф АФЧХ апериодического звена 2-го порядка

Из формул 3.4.6 очевидно, что на рисунке годографа 3.4.3 :

Амплитудная характеристика усилителя

Амплитудная характеристика — это зависимость амплитуды выходного напряжения (тока) от амплитуды входного напряжения (тока) (рис. 2.2).

Точка 1 соответствует напряжению шумов, измеряемому при U_вx = 0, точка 2 — минимальному входному напряжению, при котором на выходе усилителя можно различать сигнал на фоне шумов.

Участок 2 − 3 — это рабочий участок, на котором сохраняется пропорциональность между входным и выходным напряжениями усилителя.

После точки 3 наблюдаются нелинейные искажения входного сигнала. Степень нелинейных искажений оценивается коэффициентом нелинейных искажений (или коэффициентом гармоник):

КГ = √( U22m U23m … U2nm) / Ulm

где U_lm, U_2m, U_3m, U_nm — амплитуды 1-й (основной), 2, 3 и n-й гармоник выходного напряжения соответственно. Величина D = U_вх_max / U_вх_minхарактеризует динамический диапазон усилителя. Рассмотрим пример возникновения нелинейных искажений (рис. 2.3). При подаче на базу транзистора относительно эмиттера напряжения синусоидальной формы u_бэ в силу нелинейности входной характеристики транзистора i_б = f(u_бэ) входной токтранзистора i_б (а следовательно, и выходной — ток коллектора) отличен от синусоиды, т. е. в нем появляется ряд высших гармоник.

Другие сокращения: Что означает HNY? -определения HNY | Аббревиатура Finder

Из приведенного примера видно, что нелинейные искажения зависят от амплитуды входного сигнала и положения рабочей точки транзистора и не связаны с частотой входного сигнала, т. е. для уменьшения искажения формы выходного сигнала входной должен быть низкоуровневым.

Поэтому в многокаскадных усилителях нелинейные искажения в основном появляются в оконечных каскадах, на вход которых поступают сигналы с большой амплитудой.

Амплитудно-частотная характеристика (ачх) и фазо-частотная характеристика (фчх) усилителя.

АЧХ — это зависимость модуля коэффициента усиления от частоты, а ФЧХ — это зависимость угла сдвига фаз между входным и выходным напряжениями от частоты. Типовая АЧХ приведена на рис. 2.4.

Частоты f_н и f_в называются нижней и верхней граничными частотами, а их разность (f_н− f_в) — полосой пропускания усилителя.

При усилении гармонического сигнала достаточно малой амплитуды искажения формы усиленного сигнала не возникает.

При усилении сложного входного сигнала, содержащего ряд гармоник, эти гармоники усиливаются усилителем неодинаково, так как реактивные сопротивления схемы по-разному зависят от частоты, и в результате это приводит к искажению формы усиленного сигнала.

Такие искажения называются частотными и характеризуются коэффициентом частотных искажений: М = K₀ / K_f где K_f— модуль коэффициента усиления усилителя на заданной частоте.

Коэффициенты частотных искажений М_Н = K₀/ K_Н и М_В = K₀ / K_В называются соответственно коэффициентами искажений на нижней и верхней граничных частотах. АЧХ может быть построена и в логарифмическом масштабе. В этом случае она называется ЛАЧХ (рис. 2.5), коэффициент усиления усилителя выражают в децибелах, а по оси абсцисс откладывают частоты через декаду (интервал частот между 10f и f). Обычно в качестве точек отсчета выбирают частоты, соответствующие f = 10n. Кривые ЛАЧХ имеют в каждой частотной области определенный наклон. Его измеряют в децибелах на декаду. Типовая ФЧХ приведена на рис. 2.6.Обычно в качестве точек отсчета выбирают частоты, соответствующие f = 10n. Кривые ЛАЧХ имеют в каждой частотной области определенный наклон. Его измеряют в децибелах на декаду. Типовая ФЧХ приведена на рис. 2.6. Передаточная функция онлайн Она также может быть построена в логарифмическом масштабе. В области средних частот дополнительные фазовые искажения минимальны.

ФЧХ позволяет оценить фазовые искажения, возникающие в усилителях по тем же причинам, что и частотные.

Пример возникновения фазовых искажений приведен на рис. 2.7, где показано усиление входного сигнала, состоящего из двух гармоник (пунктир), которые при усилении претерпевают фазовые сдвиги.

Другие сокращения: Общий белок

Классификация усилителей

Все усилители можно классифицировать по следующим признакам:

Передаточная функция онлайн

По определению передаточная функция (ПФ) представляет собой оператор, равный отношению изображений выходной и входной координат при нулевых начальных условиях:

W(p) = R(p) / Q(p)

Назначение сервиса. Объект управления (ОУ) описывается линейным дифференциальным уравнением n порядка. Для колебательного звена n-го порядка определяются:

передаточная функция;
частотные характеристики (амплитудная (АЧХ), фазовая (ФЧХ), логарифмическая (ЛЧХ));
переходная и импульсная переходная (весовая) функции;
графики переходных и частотных характеристик.

Пример. Объект управления (ОУ) описывается линейным дифференциальным уравнением третьего порядка:

$Передаточная функция онлайн$ (2)

1) Передаточная функция ОУ в общем случае может быть представлена в виде отношения

W(iω) = A(ω)e^iφ(ω) = U(ω) iV(ω),

где R(p)и Q(p) – изображения по Лапласу выходной и входной переменных ОУ, соответствующих левой и правой частям уравнения 1. Отсюда, передаточная функция будет иметь вид:

$Передаточная функция онлайн$ (3)

или

$Передаточная функция онлайн$ . (4)

2) Определим частотные характеристики ОУ. Известно, что частотная передаточная функция W(ω) может быть представлена в виде:

$Передаточная функция онлайн$ , (5)

где A(ω) – амплитудная частотная характеристика (АЧХ);

φ(ω) – фазовая частотная характеристика (ФЧХ);

U(ω) – вещественная частотная характеристика (ВЧХ);

V(ω) – мнимая частотная характеристика;

Подставим iω в выражение (3) вместо p. Получим:

$Передаточная функция онлайн$ (6)

На основе выражений (5) и (6) выделим отдельно амплитудную и фазовую частотные характеристики и подставим численные значения коэффициентов. Исходя из того, что:

A(ω) = |W(iω)|

φ(ω) = arg(W(iω))

(см. комплексные числа). Окончательно получим:
$Передаточная функция онлайн$ (7)

3) Определим логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ).

Известно, что ЛАЧХ определяется из соотношения:

L(ω) = 20lg(A(ω)) (8)

Данная характеристика имеет размерность дБ (децибелы) и показывает изменение отношения мощностей выходной величины к входной. Для удобства ЛАЧХ строят в логарифмическом масштабе.

Фазовая частотная характеристика, построенная в логарифмическом масштабе, будет называться логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФЧХ).

Примеры построения ЛАЧХ и ЛФЧХ для наших исходных данных приведены на рисунке 1.

Определим импульсную переходную (весовую) функцию. Весовая функция w(t) представляет собой реакцию системы на единичную импульсную функцию, поданную на ее вход. Весовая функция связана с передаточной функцией преобразованием Лапласа.

$Передаточная функция онлайн$ . (9)

Следовательно, весовую функцию можно найти, применив обратное преобразование Лапласа к передаточной функции.

w(t) = L^-1[W(p)] (10)

Вычислим приближенно корни полиномов R(p) и Q(p), а затем найдем обратное преобразование Лапласа от передаточной функции и построим график весовой функции (рисунок 2). Весовая функция является производной от переходной функции h(t), которая является реакцией системы на ступенчатое воздействие. Проинтегрировав w(t) или выполнив обратное преобразование Лапласа над W(p)/p, найдем переходную функцию h(t) и построим соответствующий график (рисунок 3).

Переходная характеристика усилителя

Переходная характеристика усилителя— это зависимость выходного сигнала (тока, напряжения) от времени при скачкообразном входном воздействии (рис. 2.8).

Другие сокращения: АСУ: от печали до радости. История российской автоматизации / Хабр

Частотная, фазовая и переходная характеристики усилителя однозначно связаны друг с другом. Области верхних частот соответствует переходная характеристика в области малых времен, области нижних частот — переходная характеристика в области больших времен.

Ещё одно интересное видео по теме смотрите ниже:

По роду усиливаемого сигнала

усилители постоянного тока (УПТ), усиливающие электрические сигналы с частотой от нуля герц и выше;
усилители переменного тока, усиливающие электрические сигналы с частотой, отличной от нуля;

По функциональному назначению

В зависимости от функционального назначения усилителя различают коэффициенты усиления по напряжению К_U, току К_i или мощности К_Р:

КU = Uвх / Uвых

КI= Iвх/ Iвых

КP= Pвх / Pвых

где Uвх, Iвх — амплитудные значения переменных составляющих соответственно напряжения и тока на входе;

Uвых , Iвых — амплитудные значения переменных составляющих соответственно напряжения и тока на выходе;

Рвх, Рвых— мощности сигналов соответственно на входе и выходе. Коэффициенты усиления часто выражают в логарифмических единицах — децибелах:

КU (дБ) = 20LgKu

КI(дБ) = 20LgKi

КР (дБ) = 10LgKp

Усилитель может состоять из одного или нескольких каскадов. Для многокаскадных усилителей его коэффициент усиления равен произведению коэффициентов усиления отдельных его каскадов: К = К1 · К2 · … · Кn

Если коэффициенты усиления каскадов выражены в децибелах, то общий коэффициент усиления равен сумме коэффициентов усиления отдельных каскадов:

К (дБ) = К1 (дБ) К2 (дБ) … Кn(дБ).

Обычно в усилителе содержатся реактивные элементы, в том числе и «паразитные», а используемые усилительные элементы обладают инерционностью. В силу этого коэффициент усиления является комплексной величиной:

ЌU = КU · ejφ

КU = Uвых / Uвх

где КU— модуль коэффициента усиления; φ — сдвиг фаз между входным и выходным напряжениями с амплитудами Uвх и Uвых.

Помимо коэффициента усиления важным количественным показателем является коэффициент полезного действия:

η = Pвых / Pист

где Рист — мощность, потребляемая усилителем от источника питания.

Роль этого показателя особенно возрастает для мощных, как правило, выходных каскадов усилителя.

К количественным показателям усилителя относятся также входное Rвх и выходное Rвых сопротивления усилителя:

Rвх = Uвх / Iвх

Rвых = |∆ Uвых | / |∆ Iвых |

где Uвх и Iвх — амплитудные значения напряжения и тока на входе усилителя;

∆Uвых и ∆Iвых — приращения аплитудных значений напряжения и тока на выходе усилителя, вызванные изменением сопротивления нагрузки. Рассмотрим теперь основные характеристики усилителей.

Интересное видео о параметрах усилителя смотрите ниже:

По частоте усиливаемого сигнала:

усилители низкой частоты (УНЧ) для усиления сигналов от десятков герц до десятков или сотен килогерц;
широкополосные усилители, усиливающие сигналы в единицы и десятки мегагерц;
избирательные усилители, усиливающие сигналы узкой полосы частот;