Онлайн калькулятор дробей. Вычисления с дробями. Сложение, вычитание, умножение и деление дробей

Алгоритм евклида для вычисления нод (наибольшего общего делителя)

Не всегда, сходу, можно понять какое число является наибольшим общим числителем, особенно если числа крупные, поэтому существует специальный алгоритм для выведения такого числа НОД.

Суть алгоритма такова: для нахождения НОД чисел а и b (где они целые и положительные числа, к тому же a больше b), выполняется ряд делений с остатком, получается ряд равенств, где деление останавливается в том случае если rk 1=0, при этом rk=НОД(a, b)

Пример. Рассчитаем НОД для 28 и 64.

Как находим:

Распишем простые множители для каждого числа и подчеркнем одинаковые

Д (28) = 2 * 2 * 7

Д (64) = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2

Найдем произведение одинаковых простых множителей и запишем ответ

НОД (28; 64) = 2 * 2 = 4

Ответ: НОД (28; 64) = 4

Оформить поиск НОД можно в строчку, как мы сделали выше или в столбик, как на картинке.

Вынесение общего множителя при сокращении дробей

При сокращении алгебраических дробей иногда не хватает одинаковых многочленов. Для того, чтобы они появились, вынесите общий множитель за скобки.

Чтобы легко и непринужденно выносить множитель за скобки, пошагово выполняйте 4 правила:

1. Найдите число, на которое делятся числа каждого одночлена.

2. Найдите повторяющиеся буквенные множители в каждом одночлене.

3. Вынесите найденные буквенные множители за скобку.

4. Далее работаем с многочленом, оставшимся в скобках.

Алгебра не терпит неточность. Всегда проверяйте, верно ли вынесен множитель за скобки — сделать это можно по правилу умножения многочлена на одночлен.

Пример 1.

Как решаем:

1. Выносим общий множитель 6

2. Делим 42/6

3. Сокращаем получившиеся одинаковые многочлены.

Пример 2.

Как решаем: в числителе выносим общий множитель a за скобки, в знаменателе выносим общий множитель c за скобки и сокращаем оставшиеся в скобках многочлены.

Действия, которые можно выполнить с дробями

В общем то, действия с дробями это все те же действия, которые можно выполнить с числами:

• Сравнение;
• Сложение;
• Вычитание;
• Умножение; 
• Деление.

Как сокращать дроби? сокращение дроби до несократимого вида.

Чтобы нам получить в результате несократимую дробь, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) для числителя и знаменателя дроби.

Есть несколько способов найти НОД мы воспользуемся в примере разложением чисел на простые множители.

Получите несократимую дробь (frac{48}{136}).

Решение:Найдем НОД(48, 136). Распишем числа 48 и 136 на простые множители.48=2⋅2⋅2⋅2⋅3136=2⋅2⋅2⋅17НОД(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

(frac{48}{136}=frac{color{red} {2 times 2 times 2} times 2 times 3}{color{red} {2 times 2 times 2} times 17}=frac{color{red} {6} times 2 times 3}{color{red} {6} times 17}=frac{2 times 3}{17}=frac{6}{17})

Ответ: (frac{6}{17}) несократимая дробь.

Онлайн калькулятор дробей. вычисления с дробями. сложение, вычитание, умножение и деление дробей.

Определение

Алгебраическая дробь — это дробь, в числителе и/или знаменателе которой стоят алгебраические выражения (буквенные множители). Вот так:

Алгебраическая дробь содержит буквенные множители и степени.

Необыкновенной алгебраическую дробь делают буквы. Если заменить их на цифры, то карета превратится в тыкву — алгебраическая дробь тут же станет обыкновенной.

Если вы засомневались, что должно быть сверху — числитель или знаменатель — переходите по ссылке и освежите знания по теме обыкновенных дробей.

Правило сокращения дроби до несократимого вида.

1. Нужно найти наибольший общий делитель для числители и знаменателя.
2. Нужно поделить числитель и знаменатель на наибольший общий делитель в результате деления получить несократимую дробь.

Пример:Сократите дробь (frac{152}{168}).

Решение:Найдем НОД(152, 168). Распишем числа 152 и 168 на простые множители.152=2⋅2⋅2⋅19168=2⋅2⋅2⋅3⋅7НОД(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

(frac{152}{168}=frac{color{red} {6} times 19}{color{red} {6} times 21}=frac{19}{21})

Ответ:  (frac{19}{21}) несократимая дробь.

Сокращение алгебраических дробей

Сократить алгебраическую дробь — значит разделить ее числитель и знаменатель на общий множитель. Общий множитель числителя и знаменателя в алгебраической дроби — многочлен и одночлен.

Сокращение дробей с буквами и степенями проходит в три этапа:

1. Определите общий множитель.

2. Сократите коэффициенты.

3. Поделите все числители и все знаменатели на общий множитель.

Для сокращения степеней в дробях применяем правило деления степеней с одинаковыми основаниями:

Пример сокращения дроби со степенями и буквами:

1. Следуя формуле сокращения степеней в дробях, сокращаем x³ и x²

2. Всегда делим на наименьшее значение в степени

3. Вычитаем: 3 — 1

Получаем сокращенную дробь.

Запоминаем: сокращать можно только одинаковые буквенные множители. Иными словами, сокращать можно только дроби с одинаковыми буквами.

Примеры сокращения алгебраических дробей с одночленами:

Пример сокращения №1.

Как решаем:

1. Общий множитель для числителя и знаменателя — 8.

2. Х и x² делим на x и получаем ответ.

Получаем сокращенную алгебраическую дробь.

Пример сокращения №2.

Как решаем:

1. Общий множитель для числителя и знаменателя — 7.

2. b³ и b делим на b.

3. Вычитаем: 3 — 1 и получаем ответ.

Получаем сокращенную дробь.

Курсы по математике в онлайн-школе Skysmart помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Сокращение алгебраических дробей с многочленами

Чтобы верно сократить алгебраическую дробь с многочленами, придерживайтесь двух главных правил:

• сокращайте многочлен в скобках только с таким же многочленом в скобках;

• сокращайте многочлен в скобках целиком — нельзя сократить одну его часть, а другую оставить. Не делайте из многочленов одночлены.

Запомните: многочлены в алгебраической дроби находятся в скобках. Между этими скобками вклиниться может только знак умножения. Всем остальным знакам там делать нечего.

Примеры сокращения алгебраических дробей с многочленами:

Последовательно сокращаем: сначала x, затем (x c), далее сокращаем дробь на 6 (общий множитель).

Сокращаем многочлены a b (в дроби их 3).

Сокращение дробей. формулы сокращенного умножения

Перед формулами сокращенного умножения не устоит ни одна дробь — даже алгебраическая.

Чтобы легко ориентироваться в формулах сокращенного умножения, сохраняйте и заучивайте таблицу. Формулы подскажут вам, как решать алгебраические дроби.

Примеры сокращения дробей с помощью формул сокращенного умножения:

Применяем формулу разности квадратов a2 − b2 = (a − b) (a b) и сокращаем одинаковые многочлены.

Чтобы раскрыть тему сокращения алгебраических дробей и полностью погрузиться в мир числителей и знаменателей, решите следующие примеры для самопроверки.

Примеры сокращения дробей за 7 и 8 классы

Сократите дроби:

Тема сокращения алгебраических дробей достаточно обширна, и требует к себе особого внимания. Чтобы знания задержалась в голове хотя бы до ЕГЭ, сохраните себе памятку по сокращению дробей. Этот алгоритм поможет не растеряться при встрече с алгебраическими дробями лицом к лицу.

• Чтобы сократить дробь, найдите общий множитель числителя и знаменателя.

• Поделите числитель и знаменатель на общий множитель.

• Чтобы разделить многочлен на множители, вынесите общий множитель за скобку.

• Второй способ разделить многочлен на множители — применить формулы сокращенного умножения.

• Выучите все формулы сокращенного умножения — они помогут легко преобразовывать выражения и экономить время при решении задач.

• Можно забыть свое имя, но формулу разности квадратов помнить обязательно — она будет встречаться чаще других.

• Всегда проверяйте результат сокращения: алгебра — точна, коварна и не любит давать вторые шансы.

Сокращение неправильной дроби.

Как сократить неправильную дробь?Правила сокращения дробей для правильных и неправильных дробей одинаковы.

Рассмотрим пример:Сократите неправильную дробь (frac{44}{32}).

Решение:Распишем на простые множители числитель и знаменатель. А потом общие множители сократим.

(frac{44}{32}=frac{color{red} {2 times 2 } times 11}{color{red} {2 times 2 } times 2 times 2 times 2}=frac{11}{2 times 2 times 2}=frac{11}{8})

Сокращение смешанных дробей.

Смешанные дроби по тем же правилам что и обыкновенные дроби. Разница лишь в том, что мы можем целую часть не трогать, а дробную часть сократить или смешанную дробь перевести в неправильную дробь, сократить и перевести обратно в правильную дробь.

Рассмотрим пример:Сократите смешанную дробь (2frac{30}{45}).

Решение:Решим двумя способами:Первый способ:Распишем дробную часть на простые множители, а целую часть не будем трогать.

(2frac{30}{45}=2frac{2 times color{red} {5 times 3}}{3 times color{red} {5 times 3}}=2frac{2}{3})

Второй способ:Переведем сначала в неправильную дробь, а потом распишем на простые множители и сократим. Полученную неправильную дробь переведем в правильную.

(2frac{30}{45}=frac{45 times 2 30}{45}=frac{120}{45}=frac{2 times color{red} {5 times 3} times 2 times 2}{3 times color{red} {3 times 5}}=frac{2 times 2 times 2}{3}=frac{8}{3}=2frac{2}{3})

Вопросы по теме:Можно ли сокращать дроби при сложении или вычитании?Ответ: нет, нужно сначала сложить или вычесть дроби по правилам, а только потом сокращать. Рассмотрим пример:

Вычислите выражение  (frac{50 20-10}{20}) .

Решение:Часто допускают ошибку сокращая одинаковые числа в числителе и знаменателе в нашем случаем число 20, но их сокращать нельзя пока не выполните сложение и вычитание.

(frac{50 color{red} {20}-10}{color{red} {20}}=frac{60}{20}=frac{3 times 20}{20}=frac{3}{1}=3)

На какие числа можно сокращать дробь?Ответ: можно сокращать дробь на наибольший общий делитель или обычный делитель числителя и знаменателя. Например, дробь (frac{100}{150}).

Распишем на простые множители числа 100 и 150.100=2⋅2⋅5⋅5150=2⋅5⋅5⋅3Наибольшим общим делителем будет число НОД(100, 150)= 2⋅5⋅5=50

(frac{100}{150}=frac{2 times 50}{3 times 50}=frac{2}{3})

Получили несократимую дробь (frac{2}{3}).

Но необязательно всегда делить на НОД не всегда нужна несократимая дробь, можно сократить дробь на простой делитель числителя и знаменателя. Например, у числа 100 и 150 общий делитель 2. Сократим дробь (frac{100}{150}) на 2.

(frac{100}{150}=frac{2 times 50}{2 times 75}=frac{50}{75})

Получили сократимую дробь (frac{50}{75}).

Какие дроби можно сокращать?Ответ: сокращать можно дроби у которых числитель и знаменатель имеют общий делитель. Например, дробь (frac{4}{8}). У числа 4 и 8 есть число, на которое они оба делятся это число 2. Поэтому такую дробь можно сократить на число 2.

Пример:Сравните две дроби (frac{2}{3}) и (frac{8}{12}).

Эти две дроби равны. Рассмотрим подробно дробь (frac{8}{12}):

(frac{8}{12}=frac{2 times 4}{3 times 4}=frac{2}{3} times frac{4}{4}=frac{2}{3} times 1=frac{2}{3})

Отсюда получаем, (frac{8}{12}=frac{2}{3})

Две дроби равны тогда и только тогда, когда одна из них получена путем сокращения другой дроби на общий множитель числителя и знаменателя.

Пример:Сократите если возможно следующие дроби: а) (frac{90}{65}) б) (frac{27}{63}) в) (frac{17}{100}) г) (frac{100}{250})

Решение:а) (frac{90}{65}=frac{2 times color{red} {5} times 3 times 3}{color{red} {5} times 13}=frac{2 times 3 times 3}{13}=frac{18}{13})б) (frac{27}{63}=frac{color{red} {3 times 3} times 3}{color{red} {3 times 3} times 7}=frac{3}{7})в)