Неравенство Коши — Буняковского — Википедия с видео // WIKI 2

Идея (на примере дисперсии)

Самая известная реализация этого метода – рассмотрение дисперсии случайной величины. Очевидно, что если величина принимает неотрицательные значения, то её математическое ожидание также будет неотрицательно, поэтому

E[(X−E[X])2]≥0{displaystyle mathbb {E} left[{({X-mathbb {E} [X]})^{2}}right]geq 0}

для любой случайной величины X{displaystyle X}. Благодаря линейности математического ожидания из этого следует, что

0≤E[(X−E[X])2]=E[X2−2XE[X] E[X]2]=E[X2]−2E[X]E[X] E[X]2=E[X2]−E[X]2{displaystyle 0leq mathbb {E} left[{(X-mathbb {E} [X])^{2}}right]=mathbb {E} left[{X^{2}-2Xmathbb {E} [X] mathbb {E} [X]^{2}}right]=mathbb {E} [X^{2}]-2mathbb {E} [X]mathbb {E} [X] mathbb {E} [X]^{2}=mathbb {E} [X^{2}]-mathbb {E} [X]^{2}}

Пусть все yi>0{displaystyle y_{i}>0} и B:=∑i=1nyi{displaystyle B:=sum limits _{i=1}^{n}{y_{i}}}. Для случайной величины X{displaystyle X}, которая принимает значение xi{displaystyle x_{i}} с вероятностью yiB{displaystyle {frac {y_{i}}{B}}}, это неравенство означает, что

(∑i=1nxiyiB)2=E[X]2≤E[X2]=∑i=1nxi2yiB ,{displaystyle left({sum limits _{i=1}^{n}{x_{i}{frac {y_{i}}{B}}}}right)^{2}=mathbb {E} [X]^{2}leq mathbb {E} [X^{2}]=sum limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}{frac {y_{i}}{B}}} ,}

то есть

(∑i=1nxiyi)≤B∑i=1nxi2yi=(∑i=1nyi)(∑i=1nxi2yi) .{displaystyle left({sum limits _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}}right)leq Bsum limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}y_{i}}=left({sum limits _{i=1}^{n}{y_{i}}}right)left({sum limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}y_{i}}}right) .}

Отсюда неравенство Коши-Буняковского можно получить той же заменой переменных, что и в случае с применением перестановочного неравенства.

Интерпретация и альтернативные формы

После замены переменных математическое ожидание описанной выше величины будет иметь вид

Неравенство коши

• НЕРАВЕНСТВО КОШИ
• Введение
•                                                        «Основные результаты математики
•                                                         чаще выражаются         неравенствами,
•                                                         а не равенствами».

                                                        Э.Беккенбах, Р.Беллман.

     1. Неравенства играют фундаментальную роль в большинстве разделов современной математики, без них не может обойтись ни физика, ни математическая статистика, ни экономика. Не обойтись без них ни химии, ни астрономии.

Теория вероятностей, математическая статистика, финансовая математика, экономика — все эти взаимопроникающие и обобщающие друг друга науки и в формулировках основных своих законов, и в методах их получения, и в приложениях постоянно используют неравенства.

Неравенства участвуют в получении и обосновании многих важных математических результатов, помогающих разобраться в законах и методах математической системы и экономики.

Задачи, относящиеся к наибольшим и наименьшим значениям или задачи на максимум и минимум более привлекательны, чем другие математические задачи и это имеет простые причины. У каждого из нас есть свои личные задачи. Эти задачи очень часто являются своего рода задачами на максимум или минимум.

Мы хотим получить определенный предмет за наиболее низкую возможную цену, или наибольший возможный эффект при определенном усилии, или максимальную работу, произведенную за данное время, и конечно, хотим как можно меньше рисковать.

Математические задачи на максимум привлекательны потому, что они идеализируют наши повседневные задачи.

     То, что подобные задачи на оптимизацию встречались еще в глубокой древности, донесли до нас мифы Древней Греции и Рима. Вот один из таких мифов, наполовину древнегреческий, наполовину древнеримский.

Дочь царя Тира, Дидона, жена жреца храма Геракла Акербаса вынуждена была бежать из Финикии, в Северную Африку. Причина бегства — ее брат, Пигмалион, позаривщийся на богатства ее мужа и убивший его. Многочисленные сокровища мужа и (видимо поэтому) многочисленные спутники Дидоны нуждались в пристанище.

Чтобы обрести его беглянка купила у берберийского царя Ярба землю, причем по условию она в обмен на немалые сокровища могла взять ровно столько земли, сколько покроет одна бычья шкура.

Чтобы выполнить это условие и получить достаточно большую территорию, Дидона разрезала шкуру на тонкие ремни ,сделала из них длинную веревку и «окружила» ею изрядный кусок земли, естественно, круглой формы, на котором основала Карфаген.

Задача, которую решила Дидона, может быть сформулирована так: найти замкнутую кривую заданной длины, ограничивающую часть плоскости с максимальной площадью. Задачи типа задачи Дидоны называются в математике изопериметрическими задачами (от греческого слова isos — равный и perimetrio — измеряю вокруг).

     2. Неравенство Коши, его частные случаи.

Одно из самых известных замечательных неравенств — это соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим нескольких действительных неотрицательных чисел, опубликованное в 1821 году французским математиком Агюстеном Луи Коши и ставшее столь популярным, что для него к настоящему времени найдены десятки доказательств и сотни применений.

     2.1. «Школьный» вариант неравенства Коши.

1. Докажите, что для любых неотрицательных a и b справедливо неравенство
2.                                     (a   b) / 2  ≥ √ ab,      
3. причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда a=b.
4.      Решение. Составим и преобразуем разность между левой и правой частями доказываемого равенства, а затем сравним эту разность с 0:
5.                         a b/2-√ab=(a-2√ab b)/2=1/2(√a-√b)²≥0,
6. что и доказывает исследуемое неравенство, а также дает условие реализации этого соотношения в варианте равенства, а именно, когда a=b.

     2.2. Докажите, что для любых неотрицательных a, b, c, d справедливо неравенство (неравенство Коши для четырех переменных):

•                                         (a b c d)/4≥4√abcd¸
• при чем это соотношение реализуется в варианте равенства только если a=b=c=d.
•      Решение. (a b c d)/4=((a b)/2 (c d)/2)/2≥(√ab √cd)/2≥√√ab·√cd=4√abcd¸

причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда одновременно выполняются три условия: (a b)/2=√ab; (c d)/2=√cd; √ab=√cd¸ т.е. когда  a=b=c=d. Доказательство завершено.

     2.3.Теорема. Неравенство Коши для произвольного числа параметров.

     Для любых действительных неотрицательных чисел x1, х2, …, хn справедливо следующее неравенство (x1  х2  …  хn)/n ≥ n √ x1 · х2 ·  … ·  хn

причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда x1= х2= …= хn

Левая часть написанного выше неравенства называется средним арифметическим величин x1, х2, …, хn, а правая часть средним геометрическим. Иногда теорему называют «теоремой о среднем арифметическом и среднем геометрическом «, или короче «теоремой о средних».

1. Другие варианты записи неравенства Коши:
2. а)  ((x , х2  …  хn)/n)n  ≥  x1 · х2 ·  … ·  хn 
3. б)  (x1  х2  … хn)n  ≥ nn · x1 · х2 ·  … ·  хn

    2.4.  Неравенство Коши — Буняковского.

•      Теорема 1. Для любых действительных чисел a1, a2¸ …, аn, b1, b2¸ …, bn             (n — любое натуральное число, больше 1) справедливо следующее неравенство 
• (a1b1 a2b2 … аnbn)²≤(a1² a2² … an²)(b1² b2² … bn²) или a1b1 a2b2 … аnbn ≤√ a1² a2² … a2n · √ b1² b2² … bn² ,  именуемое неравенством Коши — Буняковского, причем данное соотношение реализуется в варианте равенства тогда и только тогда, когда выполняются условия   b1/а1= b2/а2=…= bn/аn.
•      Доказательство.

1. Пусть  а1=а2=…= аn=0 и утверждения теоремы 1 очевидно справедливы.

2. Пусть теперь хотя бы одно из чисел  а1, а2,… аn отлично от нуля. Введем тогда следующие обозначения: А= a1² a2² … an²>0, С=b1² b2² … bn², В= a1b1 a2b2 … аnbn, позволяющие записать изучаемое неравенство в следующем виде В2 ≥ АС.

Очевидно, что ему будет равносильно неравенство (2В)2 – 4АС ≤ 0, что подсказывает ввести в рассмотрение следующую вспомогательную функцию f(x)=Ax2 2Bx C,  xєR. Легко видеть, что f(x)=Ax2 2Bx C= (a1² a2² … an)х2 2(a1b1 a2b2 … аnbn)х (b1² b2² … bn²)=( a1х b1)2 … ( аnх bn)2, т.е.

при любом х значение этой квадратичной функции (с положительным коэффициентом при х2) неотрицательно, а это означает, что дискриминант рассматриваемого трехчлена меньше или равен нулю, т.е.

D=4В2-4АС≤0, а значит, В2≤А·С, иначе говоря, для любых действительных чисел а1, а2,… аn , b1, b2, …,bn  справедливо неравенство Коши-Буняковского: (a1b1 a2b2 … аnbn)2≤(a1² a2² … an)(b1² b2² … bn²), причем равенство в полученном соотношении достигается тогда и только тогда, когда D=0, т.е. когда график функции f(x) касается оси ОХ, а значит, уравнение   Ax2 2Bx C=0 имеет ровно один корень, т.е. когда следующая система уравнений совместна:

                        a1х b1=0,

                        аnх bn=0,  

т.е. когда  b1 / a1 = b2 / a2 =…= bn / аn . Теорема доказана.

       3.Свойство монотонности среднего степенного.

Сα(а) =(( a1α a2α … anα)/п)1/α  – среднее  степенное  порядка α              положительных чисел а1, а2,… аn. Для действительных α и β,                                   таких, что   α ≤ β имеет место неравенство (свойство монотонности) Сα(а) ≤ Сβ(а).

   4. Теоремы о постоянной сумме и постоянном произведении.

     Теорема 1. Если сумма двух положительных переменных величин постоянна, то произведение этих переменных имеет наибольшее значение, когда оба сомножителя принимают одинаковые значения.

     Доказательство. Пусть х и у — положительные переменные величины и пусть х у=с, где с — постоянная величина.

1.       Применяя неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом, получим: (х у)/2≥√ху или с/2≥√ху                              или, наконец,
2.                   ху≤c²/4.
3. Отсюда видно, что наибольшее значение произведения ху равно  c²/4            и получается оно при х=у.

     Теорема 2. Если сумма n положительных переменных величин постоянна, то произведение этих переменных имеет наибольшее значение, когда все эти переменные принимают одинаковые значения.

     Доказательство. Пусть x1, х2,…,хn — положительные переменные величины и пусть  x1  х2  … хn=с, где с постоянна. По теореме Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом имеем:  

             ( x1  х2  … хn)/ n ≥ n√ x1, х2,…,хn .

      Отсюда   x1 х2…хn≤(с/п)п , здесь знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда x1 = х2 = … = хn. Следовательно, наибольшее значение произведения  x1 х2…хn равно (с/п)п  и получается оно при   x1 = х2 = … = хn . Теорема доказана.

     Теорема 3. Если произведение переменных x1, х2,…,хn            постоянно, то их сумма  x1  х2  … хn  принимает наименьшее значение при x1 = х2 = … = хn .

     5. Решение задач.

     5.1. Задачи на наименьшее и наибольшее значение функции.

     Задача 1. Найти наибольшее значение функции  f(x)=х4 (32- х4).

     Решение. Заметим, что при х‹4√32 множители х4 и 32-х4 положительны, а их сумма является величиной постоянной. По теореме 1 наибольшее значение данной функции получим при условии, что

•            х4= 32- х4,
•           2х4= 32, 
•           х4=16,
•           х=2.
•      При х=2  f(x)=24 (32- 24)= 16·16=256.
•      Ответ: 256.

     Задача 2. Найти наибольшее значение функции f(x) =√х-2 √16-х.

Если  f(x)≥ 0 и не удается найти наибольшее и наименьшее значение f(x), то в некоторых случаях задачу можно решить путем отыскания наибольшего или наименьшего значения функции [f(x)]2 т.е. квадрата данной функции.

1.      Решение.             х-2 ≥ 0,                     х ≥ 2,
2.                                   16-х≥0;                   х ≤ 16;                   2 ≤ х≤ 16.
3.      Функция f(x) определена для значений х, удовлетворяющих неравенству
4.                 2 ≤ х≤ 16.
5.      При х=2 и х=16 функция обращается в нуль, а при всех значениях х, заключенных между 2 и 16, она положительна.

     Найдем наибольшее значение квадрата данной функции, т.е. функции 14 2√ (х-2)(16-х).

     Множители  (х-2) и (16-х) положительны и в сумме дают 14, т.е. постоянную величину. Следовательно, наименьшее значение получится при условии    х-2=16-х,

•                         2х=18,
•                         х=9.
•       Наибольшее значение квадрата данной функции равно
• 14 2√ (9-2)(16-9)=14 2√49=28, а наибольшее значение самой данной функции будет равно √28.
•      Ответ: √28.

     Задача 3. На гиперболе у=2/х найдите точки, ближайшие к началу координат.

Неравенство коши — буняковского

vipetroff

Пусть дано линейное пространство L со скалярным произведением . Пусть  — норма, порождённая скалярным произведением, то есть . Тогда для любых имеем:

Доказательство: Если то верно следующее

Заменим t на it

Представим скалярное произведение в тригонометрическом виде , заменим t на exp(iφ)t

Так как , то

• В пространстве комплекснозначных квадратично суммируемых последовательностей неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

где обозначает комплексное сопряжение .

• В пространстве комплексных квадратично интегрируемых функций неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

• В пространстве случайных величин с конечным вторым моментом неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

где обозначает ковариацию, а  — дисперсию.

Неравенство коши-буняковского

• Рассмотрим неравенство Коши в пространстве Rn.
• Для начала дадим определение n–мерного евклидового пространства Rn
• n–мерное точечное пространство, в котором расстояние между точками определено по данной формуле

называется n–мерным евклидовым пространством и обозначается Rn.

Ясно, что

1. Это неравенство в двумерном или трехмерном пространстве выражает тот элементарный геометрический факт, что сумма двух сторон треугольника не меньше третьей стороны, и потому называется неравенством треугольника. Также
2. данное неравенство является одним из аксиом метрического пространства и называется аксиомой треугольника
3. Предварительно установим важное неравенство Коши

справедливо для любых вещественных чисел ai и bi.

Простое доказательство этого неравенства основывается на следующем замечании: если квадратный трехчлен Ax2 2Bx C с вещественными коэффициентами неотрицателен при всех вещественных x, то его дискриминант

• где
• Из определения видно, что при всех x.
• Тогда, на основании предыдущего замечания,
• это и есть иначе записанное неравенство Коши.
• Далее из неравенства (3) выведем еще одно неравенство
• (4)
• (ai и bi – любые вещественные числа), которое тоже называют неравенством Коши. Для доказательства неравенства (4) извлечем квадратные корни из обеих частей неравенства (3), затем удвоив обе части полученного нового неравенства и прибавим к ним выражение
• . В результате получим
• Это неравенство можно переписать и так:

Извлекая, квадратные корни из обеих частей последнего неравенства, получим (4).Теперь уже легко доказать неравенство треугольника (2).

1. Пусть
2. Полагая в неравенстве (4)
3. мы получим неравенство (2).
4. Теперь приведем некоторые примеры метрических пространств.
5. Пусть множество l состоит из всех бесконечных числовых

• последовательностей удовлетворяющих условию
• Таким образом, l – метрическое пространство
• Обозначим через l2 множества всех таких последовательностей
• вещественных чисел, для которых , и положим
• .

Прежде всего нужно проверить, что конечно (т. е. что ря в правой части сходится) для любых x и y из l2. А для этого сначала покажем, что неравенство Коши (4) справедливо и для бесконечных последовательностей чисел ai и bi (i=1, 2, .). Действительно, беря произвольное натуральное n, запишем неравенство (4), а затем перейдем в нем к пределу при . Получим неравенство

1. , (5)
2. которое мы будем называть неравенством Коши для бесконечных
3. последовательностей. Аналогичным образом из неравенства (3) выводится и другое неравенство Коши для бесконечных последовательностей:
4. . (6)
5. Из неравенства (5), в частности, следует, что если

и , то и последовательность , т.е. .

• Теперь проверка выполнения в l2 аксиом метрического
• пространства может быть произведена совершенно так же, как это сделано для Rn.
• Пространство l2 иногда называют бесконечномерным евклидовым пространством.
• Неравенство треугольника.
• Если x и y –произвольные векторы, то по
• аналогии с элементарной геометрии вектор x y естественно называть
• третьей стороной треугольника, построенного на векторах x и y.
• Используя неравенство Коши–Буняковского, мы получаем
• или
• (7)
• (8)

Неравенства (7)–(8) называются неравенствами треугольника. Геометрически они означают, что длина любой стороны всякого треугольника не больше, чем сумма длин двух других сторон, и не меньше, чем абсолютная величина разности длин этих сторон.

Глава 3. Множества связные, несвязные, ограниченные, неограниченные.

1. Множества связные несвязные
2. Понятия относящиеся к множествам точек в .
3. Пусть — отрезок на вещественной оси , переменная на которой обозначается буквой . Рассмотрим функций

, заданных на отрезке . Каждому соответствует тогда точка пространства . Получаем отображение

сопоставляющее каждому соответствующую точку . Это отображение называется вектор-функцией, заданной на отрезке .

Пусть теперь все функции , задающие вектор-функцию , непрерывны на отрезке . Тогда и вектор-функцию будем называть непрерывной. Для такой непрерывной вектор-функции, при изменении на отрезке точка непрерывно перемещается из положения в положение .

• Определение. В описанной выше ситуации будем называть отображение
• заданное формулой , непрерывным путём, или просто путём, соединяющим точку с точкой пространства .
• Рис.

Множество всех точек будем называть непрерывной линией в , соединяющей точки и , а ту вектор-функцию , которая порождает линию — параметризацией этой линии.

Заметим, что одна и та же линия может иметь разные параметризации.

Например, на плоскости с координатами отрезок оси можно параметризовать, положив либо , либо (разумеется, формулы , при любом задают ещё бесконечное множество различных параметризации той же линии ).

1. Определение : Множество называется связным, если любые две точки и этого множества можно соединить непрерывной линией , целиком лежащей в множестве , то есть если существует путь , начинающийся в и заканчивающийся в , такой что при всех .
2. Примеры связных областей на плоскости.
3. Связными областями являются:
4. 1) всё пространство ;
5. 2) замкнутые и открытые шары;
6. 3) гиперплоскости;
7. 4) замкнутые и открытые полупространства;
8. 5) замкнутые и открытые параллелепипеды;
9. 6) положительный и неотрицательный октанты.

Общий случай

Если все yi{displaystyle y_{i}} – целые, то, раскрывая произведения xiyi=xi ⋯ xi⏟yi{displaystyle x_{i}y_{i}=underbrace {x_{i} dots x_{i}} _{y_{i}}} и применяя уже доказанный частный случай для получившихся ∑i=1nyi{displaystyle sum limits _{i=1}^{n}{y_{i}}} слагаемых, получим

(∑i=1nxiyi)2=(∑i=1nxi ⋯ xi⏟yi)2≤(∑i=1nyi)(∑i=1nxi2 ⋯ xi2⏟yi)=(∑i=1nyi)(∑i=1nxi2yi) ,{displaystyle left(sum limits _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}right)^{2}=left(sum limits _{i=1}^{n}{underbrace {x_{i} dots x_{i}} _{y_{i}}}right)^{2}leq left({sum limits _{i=1}^{n}{y_{i}}}right)left({sum limits _{i=1}^{n}{underbrace {x_{i}^{2} dots x_{i}^{2}} _{y_{i}}}}right)=left({sum limits _{i=1}^{n}{y_{i}}}right)left({sum limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}y_{i}}}right) ,}

Делением обоих частей на целые числа можно получить то же неравенство для рациональных yi{displaystyle y_{i}}, а из непрерывности сложения и умножения следует и обобщение для произвольных вещественных yi{displaystyle y_{i}}. Это утверждение в точности соответствует неравенству Коши-Буняковского для последовательностей

x′i:=xiyi{displaystyle {x’}_{i}:=x_{i}{sqrt {y_{i}}}}

y′i:=yi{displaystyle {y’}_{i}:={sqrt {y_{i}}}}.

Поэтому неравенство для произвольных (x′i)i=1n{displaystyle ({x’}_{i})_{i=1}^{n}}, (y′i)i=1n{displaystyle ({y’}_{i})_{i=1}^{n}} следует из возможности обратной замены

Применение случая n=2 к суммам

Неравенство можно получить с помощью индукции, шагом которой для перехода от n{displaystyle n} к (n 1){displaystyle (n 1)}-ому слагаемому будет применение того же неравенства для двух слагаемых. Предположение индукции для последовательнсотей (xi)i=1n{displaystyle (x_{i})_{i=1}^{n}}, (yi)i=1n{displaystyle (y_{i})_{i=1}^{n}} даёт неравенство

(∑i=1nxiyi) xn 1yn 1≤(∑i=1nxi2)12(∑i=1nyi2)12 xn 1yn 1{displaystyle left({sum limits _{i=1}^{n}{color {red}{x_{i}}color {blue}{y_{i}}}}right) x_{n 1}y_{n 1}leq left({sum limits _{i=1}^{n}{color {red}{x_{i}}^{2}}}right)^{frac {1}{2}}left({sum limits _{i=1}^{n}{color {blue}{y_{i}}^{2}}}right)^{frac {1}{2}} x_{n 1}y_{n 1}}

Примеры применения неравенства коши в решении школьных задач

Туголуков.В.А. учитель математики

Применение неравенства Коши в решении некоторых задач

Задача Докажите, что при имеют место следующие неравенства:

1. ;

Докажем эти неравенства

1. Запишем неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом для чисел

Так как левая и правая части этих неравенств при при

Окончательно имеем

1. Запишем неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом для пар чисел

• ;
• Обе части неравенств положительны, неравенства одинакового смысла, значит, мы их можем почленно перемножить. Имеем
• Преобразовав правую часть неравенства, окончательно получим

1. Запишем на основании неравенства Коши следующие неравенства для пар чисел

1. Сложив полученные неравенства почленно, получим
2. Запишем теорему о среднем арифметическом и среднем геометрическом для чисел
3. Тогда неравенство (*) может быть записано в следующем виде:

1. Запишем неравенство Коши для пар чисел

• =2.
• С учетом последнего неравенства неравенство (**)может быть записано следующим образом:

1. Запишем в развернутом виде квадрат суммы трех чисел:

1. Применим к каждой скобке неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом не отрицательных чисел. Будем иметь
2. Это же неравенство применим и к каждому из слагаемых:
3. Тогда мы можем записать:
4. Задача Известно, что a>0, b>0, c>0, d>0 и abcd=1.
5. Доказать, что
6. Доказательство
7. Так как x>0, y>0, то, согласно неравенству Коши , имеем
8. или
9. Так как по условию abcd=1, то
10. (Последнее неравенство следует из неравенства Коши, примененного к каждой паре слагаемых.) Складывая последние четыре неравенства, получим требуемо
11. Задача Решите уравнение
12. Уравнение задано на отрезке [-1; 1]. На этом отрезке его левую часть оценим сверху, используя неравенство Коши :

В приведенных оценках равенства будет иметь место только тогда, когда выполняются условия т.е. при x= 0. Но достижение равенства в оценках соответствует удовлетворению исходного уравнения. Значит, x = 0 – его единственный корень.

• Ответ:х = 0
• Задача Решите уравнение
• Данное уравнение задано для и легко видеть, что в области допустимых значений левая часть уравнения всегда положительна. Преобразуем левую часть уравнения следующим образом:
• По неравенству Коши будем иметь
• в котором равенство достигается лишь тогда, когда Решая это уравнение, находим корниТак как оба найденных значения положительны, то это и есть искомые корни заданного уравнения.
• Ответ:
• Задача Решите уравнение
• Все кому предлагалось решить это уравнение, поступали по шаблону: искали значение аргумента функции синус, при которых значения самой функции равны нулю, и затем решали уравнение Однако традиционный способ решения этого уравнения заводит в тупик.
• Покажем оригинальное решение этого уравнения, для чего вначале преобразуем его левую часть:
• Так как — соответственно среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел и x. По известному неравенству Коши имеем, что тогда
• Задача Решите неравенство
• Решение
• Найдя корни уравнения разложим квадратный трехчлен на множители; применив к заданному неравенству другие преобразования, запишем его в виде
• (*)
• Заметим, что выражение есть сумма двух взаимно обратных положительных ичисе6л, а значит, согласно неравенству (38), имеем
• Тогда неравенство(*) равносильно системе
• Решая ее стандартным способом, получим ответ
• Ответ:
• Задача Решите уравнение
• Решение:
• Будем первое подкоренное выражение рассматривать как произведение ()*1 и тогда по неравенству Коши можем записать:
• Или (*)
• Рассуждая аналогично, мы можем записать для второго слагаемого следующее неравенство:
• (**)
• Сложим почленно неравенства (*) и (**):
• Откуда
• Так как левая часть заданного уравнения не больше ,то и правая часть его должна быть не больше этого же выражения.
• Тогда ,
• Откуда а значит x= -1.
• Ответ: x= -1.
• Задача Решите уравнение
• Решение:
• Так как левая часть заданного уравнения не превосходит выражения 1-x,значит и его правая часть не должна превосходить того же выражения, то есть
• .

Ответ: ..

1. Задача Решите уравнение
2. x 240=
3. Решение
4. Известно, что
5. *,
6. Этот частный случай неравенства Коши — Буняковского (9) при n=2
7. Если векторы () и () коллинеарны, то выполняется равенство.
8. Преобразуем данное уравнение:
9. x 240=,
10. или 60=,
11. или x 60=.

Следовательно, векторы (x;15) и (; 4) коллинеарны, т.е. выполняется условие

• =, где –
• Тогда
• x 15**=
• =*=.
• Тогда
• =, или 16(1 )= 225().
• Далее заменой =y, где y, полученное уравнение приводится к виду
• 128 1928y-1125=0,
• корни которого
• Ответ: .
• Задача Решите уравнение
• =(3-2x 3).
• на основании неравенства Коши имеем
• ,
• =
• Тогда
• (-2x 1).
• Следовательно, и правая часть исходного уравнения должна удовлетворять условию
• (3-2x 3)(-2x 1), или 2x 2
• Ответ:x=1.
• Задача. Найти наименьшее значение функции
• .
• Решение
• Учитывая, что каждое слагаемое положительно, используем теорему о среднем арифметическом и среднем геометрическом (a b, a 0, b 0). Итак, имеем
• 2 = 4 =4 = 8 .

Окончательно имеем yнаим. =8 .

Ответ:yнаим. =8 .

1. Задача. Найти наименьшее значение функции
2. f(x)=
3. Решение
4. Представим заданную функцию в следующем виде:
5. f(x)===.
6. Применим неравенство Коши к этим пяти положительным слагаемым:
7. f(x)== =5, то есть при любом f(x).

Отсюда f(x)наим.=5.Ответ:f(x)наим.=5.

• Задача . Найти наибольшее значение функции
• f(x)=(1-2(1 7x)(x 1) при -.
• Решение
• Представим заданную функцию в виде:
• f(x)=(1-2(1 7x)(x 1) = (1-2x)(1-2x)(1-2x)(1-2x)(1 7x)(x 1).
• При — все сомножители положительны, а значит, мы можем применить неравенство Коши (12):
• ==1.

Ответ:f(x)наиб. =1.

1. Задача .Найти наименьшее значение функции
2. y= .
3. Решение
4. Так как оба корня в формуле, задающей функцию, неотрицательны (по свойству арифметического квадратного корня), то, по неравенству Коши, будем иметь
5. y= = = 2.

Итак, y2. Равенство достигается только при x=0.

При x=0 выражение 2 принимает наименьшее значение, равное 1. И тогда yнаим.=2.

Ответ:yнаим.=2.

• Задача . Найдите наибольшее значение выражения
• и укажите точки, в которых оно достигается.
• Решение
• Ясно, что переменные xи yудовлетворяют ограничениям причем в соответствии с поставленной задачей имеет смысл рассматривать только неотрицательные значения переменных xи y. Оценивая каждое слагаемое выражения zсверху посредством неравенства Коши , будем иметь
• следовательно, zбудет принимать наибольшее значение, равное 1. Это значение будет приниматься лишь тогда, когда

т.е. при условии Следовательно, наибольшее значение, равное 1, величиной zдостигается в точках дуги

Задача. Какое наибольшее значение может иметь многочлен ?

1. Решение
2. Пусть (2-x)=y ,то
3. Согласно неравенству Коши имеем
4. Отсюда следует, что наибольшее значение много члена равно 1 и оно достигается, если x=2-x, то есть при x=1
5. Ответ: наибольшее значение многочлена равно 1

Задача. Какое наименьшее значение может иметь выражение для положительных значений x?

• Решение
• Пусть = y. Согласно неравенству Коши имеем
• Итак, наименьшее значений равно 2, оно достигается при
• Ответ:x=2
• Задача
• Задача. Найдите наименьшее значение выражения для положительных значений x, если a и bположительны, а m иn – натуральные числа
• Решение
• Тогда, согласно неравенству Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическим, имеем
• Равенство достигается при , то есть при , или .
• Итак, наименьшее значение данного выражения равно
• Ответ:
• Задача. Найти наименьшее значение функции
• Решение
• Имеем
• Корней не имеет следовательно вся функция положительная
• =
• То есть откуда следует, что наименьшее значение функции равно 2:
• Ответ:
• Алгебраическое доказательство неравенства Коши.
• (а – в)² ≥ 0;
• Применим формулу «квадрат разности»:
• а² — 2ав в² ≥0;
• Литература

1. Берколайко С.Т. Использование неравенства Коши при решении задач.- М.: Квант, 1975.- №4.

2. Айзенштайн Я.И. Доказательство неравенств методом математической индукции. – М., 1976. № 2. – С. 89.

3. Седракян Н.М. Авоян А.М. Неравенства. Методы доказательства. – М.: Физматлит, 2002.

4. Сивашинский И.Х. Неравенства в задачах. – М.: Наука, 1967.

5. Далингер В.А. Классические неравества.Омск,2022

6. Далингер В.А. Задачи с параметрами.Омск,2022

Примечания

Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.Обычно почти сразу, изредка в течении часа.

Прямой (через группировку множителей)

Ещё одна (впрочем, нуждающаяся в инструментарии двух предыдущих) идея состоит в представлении неравенства в виде

(∑i=1nxiyi)(∑j=1nxjyj)=∑i=1n∑j=1n(xiyj)(xjyi)≤∑i=1n∑j=1n(xiyj)2=(∑i=1nxi2)(∑j=1nyj2) .{displaystyle left({sum limits _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}}right)left({sum limits _{j=1}^{n}{x_{j}y_{j}}}right)=sum limits _{i=1}^{n}sum limits _{j=1}^{n}{(x_{i}y_{j})(x_{j}y_{i})}leq sum limits _{i=1}^{n}sum limits _{j=1}^{n}{(x_{i}y_{j})^{2}}=left({sum limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}}}right)left({sum limits _{j=1}^{n}{y_{j}^{2}}}right) .}

Такую форму можно доказать двумя способами:

Случай с вектором из единиц

Пусть y1=⋯=yn=1{displaystyle y_{1}=dots =y_{n}=1}. Раскрывая квадрат и делая замену t=i−j{displaystyle t=i-j}, квадрат суммы можно разбить на блоки следующим образом:

(∑i=1nxi)2=∑i=1n∑j=1nxixj=∑t=0n−1(∑j=1nxjxj t) ,{displaystyle {left({sum limits _{i=1}^{n}{x_{i}}}right)}^{2}=sum limits _{i=1}^{n}sum limits _{j=1}^{n}{x_{i}x_{j}}=sum limits _{t=0}^{n-1}{left({sum limits _{j=1}^{n}{x_{j}x_{j t}}}right)} ,}

где обозначения xn 1,xn 2,…{displaystyle x_{n 1},x_{n 2},dots } соответствуют x1,x2,…{displaystyle x_{1},x_{2},dots }. Из перестановочного неравенства для двух копий последовательности (x1,…,xn){displaystyle (x_{1},dots ,x_{n})} и перестановок

σt(j):=((t j−1)modn) 1,   t=0,…,n−1{displaystyle sigma _{t}(j):=((t j-1)mod {n}) 1, t=0,dots ,n-1}

следует, что каждая из внутренних сумм не превышает ∑i=1nxi2{displaystyle sum limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}}}.

Способы доказательства

Существует лишь несколько сущностно различных подходов к доказательству неравенства. Однако, ввиду его универсальности, одни и те же приводящие к нему формальные операции можно описывать в разных терминах. Из-за этого некоторые авторы представляют неравенство как имеющее чрезвычайно много доказательств.[3]

Для удобства изложения в данном разделе, когда не указано иное, описываются доказательства только для пространства конечной размерности над R{displaystyle mathbb {R} }, то есть для конечных последовательностей (x1,…,xn){displaystyle (x_{1},dots ,x_{n})}, (y1,…,yn){displaystyle (y_{1},dots ,y_{n})}.

Формулировка

Пусть дано линейное пространство L{displaystyle L} со скалярным произведением ⟨x,y⟩{displaystyle langle x,;yrangle }. Пусть ‖x‖{displaystyle |x|} — норма, порождённая скалярным произведением, то есть ‖x‖≡⟨x,x⟩,∀x∈L{displaystyle |x|equiv {sqrt {langle x,;xrangle }},;forall xin L}. Тогда для любых x,y∈L{displaystyle x,;yin L} имеем:

|⟨x,y⟩|⩽‖x‖⋅‖y‖,{displaystyle |langle x,;yrangle |leqslant |x|cdot |y|,}

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы x{displaystyle x} и y{displaystyle y} линейно зависимы (коллинеарны, или среди них есть нулевой).