Формулы сокращенного умножения

Базовые знания

Для освоения определенного направления в любой дисциплине необходимы определенные знания. Например, невозможно выполнить умножение одного числа на другое, не зная таблицы умножения. Это касается и оптимизации тождеств. Основные элементы теории, которые нужно знать для выполнения операции:

1. Приведение общих компонентов.
2. Правила раскрытия скобок.
3. Работа со степенями.
4. Действия над знаменателями обыкновенных дробей и их сокращение.
5. Соотношения сокращенного умножения.

По этим пунктам можно упрощать алгебраические целочисленные и дробные выражения любой сложности. Однако каждый из элементов необходимо разобрать подробно, чтобы не совершать ошибок при расчетах.

Все тесты

Квадрат разности

Выше мы нашли формулу для суммы одночленов. Давайте теперь найдем формулу для разности, то есть, для ((a-b)^2):

В более краткой записи имеем:

Квадрат разности двух выражений

Формула квадрата разности двух выражений выглядит следующим образом:

(a − b)2 = a2 − 2ab   b2

Эту формулу можно прочитать так:

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Формула квадрата разности двух выражений выводится таким же образом, как и формула квадрата суммы двух выражений. Выражение (a − b)2 представляет собой произведение двух многочленов, каждый из которых равен (a − b)

(a − b)2 = (a − b)(a − b)

Если выполнить это умножение, то получится многочлен a2 − 2ab   b2

(a − b)2 = (a − b)(a − b) = a2 − ab − ab   b2 = a2 − 2ab   b2

Пример 1. Преобразовать выражение (7x − 5)2 в многочлен.

Воспользуемся формулой квадрата разности двух выражений:

(a − b)2 = a2 − 2ab   b2

(7x − 5)2 = (7x)2 − 2 × 7x × 5 52 = 49×2 − 70x 25

Значит, (7x − 5)2 = 49×2 − 70x 25.

Попробуем решить данный пример, не пользуясь формулой квадрата разности. У нас должен получиться тот же результат:

(7x − 5)2 = (7x − 5)(7x − 5) = 49×2 − 35x − 35x 25 = 49×2 − 70x  25.

Формула квадрата разности двух выражений тоже имеет геометрический смысл. Если площадь квадрата со стороной a равна a2, то площадь квадрата, сторона которого уменьшена на b, будет равна (a − b)2

Рассмотрим следующий рисунок:

Представим, что сторону квадрата, изображённого на данном рисунке уменьшили на b. У квадрата все стороны равны. Если одну сторону уменьшить на b, то остальные стороны тоже уменьшатся на b

Получился новый квадрат, который меньше предыдущего. На рисунке он выделен жёлтым. Сторона его равна a − b, поскольку старая сторона a уменьшилась на b. Чтобы вычислить площадь этого квадрата, можно из первоначальной площади квадрата a2 вычесть площади прямоугольников, которые получились в процессе уменьшения сторон старого квадрата. Покажем эти прямоугольники:

Тогда можно написать следующее выражение: старая площадь a2 минус площадь ab минус площадь (a − b)b

a2 − ab − (a − b)b

Раскроем скобки в выражении (a − b)b

a2 − ab − ab b2

Приведем подобные слагаемые:

a2 − 2ab b2

В результате получается выражение a2 − 2ab b2, которое является правой частью формулы квадрата разности двух выражений:

(a − b)2 = a2 − 2ab   b2

Формулы квадрата суммы и квадрата разности в общем называют формулами сокращённого умножения. Эти формулы позволяют значительно упростить и ускорить процесс перемножения многочленов.

Ранее мы говорили, что рассматривая член многочлена по отдельности, его нужно рассматривать вместе со знаком, который перед ним располагается.

Но применяя формулы сокращённого умножения, знак исходного многочлена не следует рассматривать в качестве знака самого этого члена.

Например, если дано выражение (5x − 2y)2, и мы хотим воспользоваться формулой (a − b)2 = a2 − 2ab   b2, то вместо b нужно подставлять 2y, а не −2y. Это особенность работы с формулами, которую не следует забывать.

(5x − 2y)2a = 5xb = 2y(5x − 2y)2 = (5x)2 − 2 × 5x × 2y  (2y)2 = 25×2 − 20xy  4y2

Если подставлять −2y, то это будет означать, что разность в скобках исходного выражения была заменена на сумму:

(5x − 2y)2 = (5x (−2y))2

и в таком случае нужно применять не формулу квадрата разности, а формулу квадрата суммы:

(5x (−2y)2a = 5xb = −2y(5x  (−2y))2 = (5x)2 2 × 5x × (−2y)  (−2y)2 = 25×2 − 20xy  4y2

Исключением могут быть выражения вида (x − (−y))2. В данном случае, применяя формулу (a − b)2 = a2 − 2ab   b2 вместо b следует подставить (−y)

(x − (−y))2 = x2 − 2 × x × (−y)  (−y)2 = x2   2xy  y2

Но возводя в квадрат выражения вида x − (−y), удобнее будет заменять вычитание на сложение x   y. Тогда первоначальное выражение примет вид (x   y)2 и можно будет воспользоваться формулой квадрата суммы, а не разности:

(x   y)2 = x2   2xy  y2

Квадрат разности: ((a-b)^2=a^2-2ab b^2)

Применяется она также, как и предыдущая.

Пример. Упростите выражение ((2a-3)^2-4(a^2-a)) и найдите его значение при (a=frac{17}{8}).

Решение:

Ответ: (8).

Квадрат суммы

Пусть у нас возводиться в квадрат сумма двух одночленов, вот так: ((a b)^2). Возведение в квадрат – это умножение числа или выражения само на себя, то есть, ((a b)^2=(a b)(a b)). Теперь мы можем просто раскрыть скобки, перемножив их как делали это здесь, и привести подобные слагаемые. Получаем:

А если мы опустим промежуточные вычисления и запишем только начальное и конечное выражения, получим окончательную формулу:

Квадрат суммы двух выражений

Существует ряд случаев, когда умножение многочлена на многочлен можно значительно упростить. Таковым к примеру является случай (2x   3y)2.

Выражение (2x   3y)2 это перемножение двух многочленов, каждый из которых равен (2x   3y)

(2x  3y)2 = (2x  3y)(2x  3y)

Получили умножение многочлена на многочлен. Выполним его:

(2x  3y)2 = (2x  3y)(2x  3y) = 4×2   6xy  6xy  9y2 = 4×2   12xy   9y2

То есть выражение (2x   3y)2 равно 4×2   12xy  9y2

(2x  3y)2 = 4×2   12xy  9y2

Решим аналогичный пример, который попроще:

(a   b)2

Выражение (a   b)2 это перемножение двух многочленов, каждый из которых равен (a   b)

(a   b)2 = (a   b)(a   b)

Выполним это умножение:

(a   b)2 = (a   b)(a   b) = a2   ab   ab   b2 = a2   2ab   b2

То есть выражение (a   b)2 равно a2   2ab   b2

(a   b)2 = a2   2ab   b2

Оказывается, что случай (a   b)2 можно распространить для любых a и b. Первый пример, который мы решили, а именно (2x  3y)2 можно решить с помощью тождества (a   b)

2 = a2   2ab   b2. Для этого нужно подставить вместо переменных a и b соответствующие члены из выражение (2x  3y)

a = 2x

b = 3y

И далее можно воспользоваться тождеством (a   b)2 = a2   2ab   b2, но вместо переменных a и b нужно подставлять выражения 2x и 3y соответственно:

(2x  3y)2 = (2x)2  2 × 2x × 3y (3y)2 = 4×2   12xy  9y2

Как и в прошлый раз получили многочлен 4×2   12xy  9y2. Решение обычно записывают покороче, выполняя в уме все элементарные преобразования:

(2x  3y)2 = 4×2   12xy  9y2

Тождество (a   b)2 = a2   2ab   b2 называют формулой квадрата суммы двух выражений. Эту формулу можно прочитать так:

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Рассмотрим выражение (2   3)2. Его можно вычислить двумя способами: выполнить сложение в скобках и возвести полученный результат в квадрат, либо воспользоваться формулой квадрата суммы двух выражений.

Первый способ:

(2   3)2 = 52 = 25

Второй способ:

(2   3)2 = 22 2 × 2 × 3  32 = 4 12 9 = 25

Куб суммы и куб разности

Формулы куба суммы двух выражений и куба разности двух выражений выглядят следующим образом:

(a   b)3 = a3   3a2b   3ab2   b3

(a − b)3 = a3 − 3a2b   3ab2 − b3

Формулу куба суммы двух выражений можно прочитать так:

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения. 

А формулу куба разности двух выражений можно прочитать так:

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения. 

При решении задач желательно знать эти формулы наизусть. Если не запомнили — не беда! Их можно выводить самостоятельно. Мы это уже умеем.

Выведем формулу куба суммы самостоятельно:

(a   b)3

Выражение (a   b)3 представляет собой произведение из трёх многочленов, каждый из которых равен (a   b)

(a   b)3 = (a   b)(a   b)(a   b)

Но выражение (a   b)3 также может быть записано как (a   b)(a   b)2

(a   b)3 = (a   b)(a   b)2

При этом сомножитель (a   b)2 является квадратом суммы двух выражений. Этот квадрат суммы равен выражению a2   2ab   b2.

Тогда (a   b)3 можно записать как (a   b)(a2   2ab   b2).

(a   b)3 = (a   b)(a2   2ab   b2)

А это есть умножение многочлена на многочлен. Выполним его:

(a   b)3 = (a   b)(a2   2ab   b2) = a3  2a2b  ab2  a2b  2ab2  b3 = a3   3a2b   3ab2   b3

Аналогично можно вывести формулу куба разности двух выражений:

(a − b)3 = (a − b)(a2 − 2ab   b2) = a3 − 2a2b ab2 − a2b  2ab2 − b3 = a3 − 3a2b   3ab2 − b3

Оптимизация обыкновенных дробей

Практически во всех заданиях или тренажерах большая часть примеров представлена в виде обыкновенной дроби вида s/t, которую нужно сократить. Иногда необходимо произвести операции произведения или деления одной величины на другую (буквенное обозначение — s/t и w/v), а также сложения и вычитания.

1. Если знаменатель одной дроби делится нацело на другой, следует оставить первый, записав множитель над второй величиной. Например, 4/5 4/25=(4*5 4*1)/25=24/25.
2. Когда v и t не делятся друг на друга, не имеют общих множителей, их нужно перемножить между собой, записав множители над числителями.
3. Если v и t содержат общие множители, единый знаменатель эквивалентен наименьшему общему кратному (НОК).

В последнем случае каждый знаменатель необходимо разложить на множители, затем перемножить между собой все неповторяющиеся компоненты. Следующим элементом, который необходимо для преобразования тождеств, являются формулы сокращенного умножения.

Правила ввода

Можно делать следующие операции

2*x

— умножение

3/x

— деление

x^3

— возведение в степень

x 7

— сложение

x — 6

— вычитание

Действительные числа

вводить в виде 7.5, не 7,5

Приведение подобных элементов

Практически во всех заданиях нужно складывать общие элементы, полученные при расчетах или раскрытии скобок. Для этой операции необходимо руководствоваться следующими правилами:

1. Приведению подлежат только эквивалентные компоненты.
2. Операция выполняется только при арифметическом сложении и вычитании, а не делении и умножении.
3. Компоненты равные по модулю, но противоположные по знаку, уничтожаются, т. к. в сумме дают нулевое значение.
4. В любом выражении можно использовать противоположные числа, поскольку их общее значение не влияет на результат.

Группу «5t^2-4t^2» можно назвать операцией сложения, хотя на самом деле она называется разностью, которую записывают и в виде суммы: 5t^2 (-4t^2). Раскрывая скобки в последнем тождестве, можно получить упрощенную форму: 5t^2-4t^2. Далее необходимо ознакомиться с правилами раскрытия скобок.

Примеры упрощаемых выражений

Указанные выше примеры содержат также:

• квадратные корни sqrt(x),
  кубические корни cbrt(x)
• тригонометрические функции:
  синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x)
• показательные функции и экспоненты exp(x)
• обратные тригонометрические функции:
  арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x),
  арккотангенс actan(x)
• натуральные логарифмы ln(x),
  десятичные логарифмы log(x)
• гиперболические функции:
  гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x),
  гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x)
• обратные гиперболические функции:
  asinh(x), acosh(x), atanh(x), actanh(x)
• число Пи pi
• комплексное число i

Работа со степенями

В математических тождествах иногда необходимо упростить степенные выражения. Однако большинство математиков-новичков делает много ошибок, поскольку не знают основных правил:

1. p^0=1.
2. p^1=p.
3. (p^v)*(p^w)=p^(v w).
4. (p^v)/(p^w)=p^(v-w).
5. (p/s)^w=(p^w)/(s^w).
6. p^(-w)=1/(p^w).
7. (p^w)^v=p^(wv).

Нулевое значение в такой же степени является пустым множеством, т. е. его не существует. Cтепень может быть представлена в виде обыкновенной или десятичной дроби. В последнем случае для удобства ее необходимо перевести к первому типу. Если указано значение степенного показателя, равное 3/5, нужно величину возвести в куб, а затем изъять корень 5 порядка.

Разность квадратов

Итак, мы разобрались с ситуациями произведения двух скобок с плюсом в них и двух скобок с минусом. Остался случай произведения одинаковых скобок с разными знаками. Смотрим, что получится:

Получили формулу:

Разность квадратов (a^2-b^2=(a b)(a-b))

Эта формула одна из наиболее часто применяемых при разложении на множители и работе с алгебраическими дробями. 

Пример. Сократите дробь (frac{x^2-9}{x-3}).

Решение:

Ответ: (x 3).

Пример.Разложите на множители (25x^4-m^{10} t^6). Решение:

Это три основные формулы, знать которые нужно обязательно! Есть еще формулы с кубами (см. выше), их тоже желательно помнить либо уметь быстро вывести. Отметим также, что в практике часто встречаются сразу несколько таких формул в одной задаче – это нормально. Просто приучайтесь замечать формулы и аккуратно применяйте их, и все будет хорошо.

Пример (повышенной сложности!).Сократите дробь (frac{x^2-4xy-9 4y^2}{x-2y 3}) . Решение:

Раскрытие скобок

Операция раскрытия скобок для выполнения дальнейших вычислений очень часто применяется в различных дисциплинах с физико-математическим уклоном. Она осуществляется по следующим правилам:

1. Произведение на сумму или разность: r(s t)=rs rt или r(s-t)=rs-rt.
2. Деление суммы или разности: (s t)/r=s/r t/r или (s-t)/r=s/r-t/r.
3. Сгруппировать любые компоненты и поменять их местами с сохранением логики тождества: 3 4 11 7 19 33 23=(3 4 23) (19 11) (7 33)=30 30 40=100.

В первом и втором случаях операции называют вынесением общего множителя за скобки. Последнее правило группировки действует не на все компоненты, т. е невозможно выполнить объединение 2 и 3 элементов (5 и 4) в выражении «4:5 4-1 7». Для доказательства следует решить его двумя способами:

1. (4:5) (4-1) 7=0,8 10=10,8.
2. 4:(5 4) (7-1)=(4/9) 6=6[4/9] — смешанное число.

Выражение, решенное первым и вторым способом, имеет различные ответы, поскольку 10,8>6[4/9]. Объяснение этому несоответствию — нарушение логики тождества. Следующим компонентом, составляющим базу для упрощения тождеств, является работа со степенями.

Умножение разности двух выражений на их сумму

Встречаются задачи, в которых требуется умножить разность двух выражений на их сумму. Например:

(a − b)(a   b)

В этом выражении разность двух выражений a и b умножена на сумму этих же двух выражений. Выполним данное умножение:

(a − b)(a  b) = a2   ab − ab − b2 = a2 − b2

То есть выражение (a − b)(a   b) равно a2 − b2

(a − b)(a  b) = a2 − b2

Видим, что при умножении разности двух выражений на их сумму, получается разность квадратов этих выражений.

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Случай (a − b)(a   b) можно распространить для любых a и b. Проще говоря, если при решении задачи потребуется умножить разность двух выражений на их сумму, то это умножение можно заменить на разность квадратов этих выражений.

Пример 1. Выполнить умножение (2x − 5)(2x   5)

В этом примере разность выражений 2x и 5 умножена на сумму этих же выражений. Тогда согласно формуле (a − b)(a  b) = a2 − b2 имеем:

(2x − 5)(2x   5) = (2x)2 − 52

Вычислим правую часть, получим 4×2 − 25

(2x − 5)(2x   5) = (2x)2 − 52 = 4×2 − 25

Попробуем решить данный пример, не пользуясь формулой (a − b)(a   b) = a2 − b2. У нас получится тот же результат 4×2 − 25

(2x − 5)(2x   5) = 4×2 − 10x   10x − 25 = 4×2 − 25

Умножение разности двух выражений на неполный квадрат их суммы

Встречаются задачи, в которых требуется умножить разность двух выражений на неполный квадрат их суммы. Выглядит это произведение следующим образом:

(a − b)(a2 ab   b2)

Первый многочлен (a − b) является разностью двух выражений, а второй многочлен (a2 ab   b2) является неполным квадратом суммы этих двух выражений.

Неполный квадрат суммы это многочлен вида a2 ab   b2. Он похож на обычный квадрат суммы a2 2ab  b2 за исключением того, что в нём произведение первого и второго выражений не удваивается.

Например, выражение 4×2 6xy  9y2 является неполным квадратом суммы выражений 2x и 3y.

Действительно, первый член выражения 4×2 6xy  9y2, а именно 4×2 является квадратом выражения 2x, поскольку (2x)

2 = 4×2. Третий член выражения 4×2 6xy  9y2, а именно 9y2 является квадратом выражения 3y, поскольку (3y)

Итак, умножим разность (a − b) на неполный квадрат суммы a2 ab  b2

(a − b)(a2 ab   b2) = a(a2 ab b2) − b(a2 ab   b2) =a3 a2b  ab2 − a2b − ab2 − b3 = a3 − b3

То есть выражение (a − b)(a2 ab   b2) равно a3 − b3

(a − b)(a2 ab   b2) = a3 − b3

Это тождество называют формулой умножения разности двух выражений на неполный квадрат их суммы. Эту формулу можно прочитать так:

Произведение разности двух выражений и неполного квадрата их суммы равно разности кубов этих выражений.

Пример 1. Выполнить умножение (2x − 3y)(4×2   6xy   9y2)

Первый многочлен (2x − 3y) это разность двух выражений 2x и 3y. Второй многочлен 4×2 6xy  9y2 это неполный квадрат суммы двух выражений 2x и 3y.

Это позволяет не приводя длинных вычислений, воспользоваться формулой (a − b)(a2 ab   b2) = a3 − b3. В нашем случае умножение (2x − 3y)

(2x − 3y)(4×2   6xy   9y2) = (2x)3 − (3y)3 = 8×3 − 27y3

Попробуем решить этот же пример, не пользуясь формулой (a − b)(a2   ab   b2) = a3 − b3. У нас получится тот же результат, но решение станет длиннее:

(2x − 3y)(4×2   6xy   9y2) = 2x(4×2   6xy  9y2) − 3y(4×2   6xy  9y2) =8×3   12x2y   18xy2 − 12x2y − 18xy2 − 27y3 = 8×3 − 27y3

Умножение суммы двух выражений на неполный квадрат их разности

Встречаются задачи, в которых требуется умножить сумму двух выражений на неполный квадрат их разности. Выглядит это произведение следующим образом:

(a   b)(a2 − ab   b2)

Первый многочлен (a   b) является суммой двух выражений, а второй многочлен (a2 − ab   b2) является неполным квадратом разности этих двух выражений.

Неполный квадрат разности это многочлен вида a2 − ab   b2. Он похож на обычный квадрат разности a2 − 2ab  b2 за исключением того, что в нём произведение первого и второго выражений не удваивается.

Например, выражение 4×2 − 6xy  9y2 является неполным квадратом разности выражений 2x и 3y. 

(2x)2 − 2x × 3y (3y)2 = 4×2 − 6xy  9y2

Вернёмся к изначальному примеру. Умножим сумму a   b на неполный квадрат разности a2 − ab  b2

(a   b)(a2 − ab   b2) = a(a2 − ab   b2) b(a2 − ab   b2) =a3 − a2b  ab2  a2b − ab2 b3 = a3 b3

То есть выражение (a   b)(a2 − ab   b2) равно a3 b3

(a   b)(a2 − ab   b2) = a3 b3

Это тождество называют формулой умножения суммы двух выражений на неполный квадрат их разности. Эту формулу можно прочитать так:

Произведение суммы двух выражений и неполного квадрата их разности равно сумме кубов этих выражений.

Пример 1. Выполнить умножение (2x   3y)(4×2 − 6xy   9y2)

Первый многочлен (2x 3y) это сумма двух выражений 2x и 3y, а второй многочлен 4×2 − 6xy  9y2 это неполный квадрат разности этих выражений.

Это позволяет не приводя длинных вычислений, воспользоваться формулой (a b)(a2 − ab   b2) = a3 b3. В нашем случае умножение (2x 3y)

(2x 3y)(4×2 − 6xy   9y2) = (2x)3 (3y)3 = 8×3  27y3

Попробуем решить этот же пример, не пользуясь формулой (a   b)(a2 − ab   b2) = a3   b3. У нас получится тот же результат, но решение станет длиннее:

(2x 3y)(4×2 − 6xy   9y2) = 2x(4×2 − 6xy  9y2) 3y(4×2 − 6xy  9y2) =8×3 − 12x2y   18xy2 12x2y − 18xy2  27y3 = 8×3 27y3