Упростить выражение | Онлайн калькулятор

Базовые знания

Для освоения определенного направления в любой дисциплине необходимы определенные знания. Например, невозможно выполнить умножение одного числа на другое, не зная таблицы умножения. Это касается и оптимизации тождеств. Основные элементы теории, которые нужно знать для выполнения операции:

1. Приведение общих компонентов.
2. Правила раскрытия скобок.
3. Работа со степенями.
4. Действия над знаменателями обыкновенных дробей и их сокращение.
5. Соотношения сокращенного умножения.

По этим пунктам можно упрощать алгебраические целочисленные и дробные выражения любой сложности. Однако каждый из элементов необходимо разобрать подробно, чтобы не совершать ошибок при расчетах.

Бином ньютона

Формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных. Записывается вот так:
Пример вычисления биномиальных коэффициентов, которые стоят в строке под номером n в треугольнике Паскаля:
Пример вычисления биномиальных коэффициентов, которые стоят в строке под номером n в треугольнике Паскаля:

ФСУ для квадрата и куба суммы и разности — являются частными случаями формулы бинома Ньютона при n = 2 и n = 3.

Все тесты

Доказательство формул сокращенного умножения

Напомним, что разность квадратов двух чисел a и b равна произведению их разности и их суммы: a2 — b2 = (a — b) * (a b).

Иначе говоря, произведение суммы a и b на их разность равна разности их квадратов: (a — b) * (a b) = a2 — b2.

Важно знать, что разность квадратов не равна квадрату разности: a2 — b2 ≠ (a — b)2.

Докажем, что a2 — b2 = (a — b) * (a b).

Поехали:

1. Используя искусственный метод, прибавим и отнимем одно и тоже a * b.

   a * b — a * b = 0

   a² — b² = a² — b² ab — ab

2. Сгруппируем иначе: a² — b² a * b — a * b = a² — a * b a * b — b²
3. Продолжим группировать: a² — a * b — b² a * b = (a² — a * b) (a * b — b²)
4. Вынесем общие множители за скобки:

   (a² — a * b) (a * b — b²) = a *(a — b) b *(a — b)

5. Вынесем за скобки (a — b). a * (a — b) b * (a — b) = (a — b) * (a b)
6. Результат доказательства: a² — b² = (a — b) * (a b)
7. Для того, чтобы доказать в обратную сторону: (a — b) * (a b) = a² — b², нужно раскрыть скобки: (a — b) * (a b) = a * a a * b — b * a — b * b = a² — b².

Остальные ФСУ можно доказать аналогичным методом.

Дополнительные формулы сокращенного умножения

К таблице основных ФСУ следует добавить еще несколько важных тождеств, которые пригодятся для решения задач.

Задание 1

Что сделать: вычислить квадрат произведения (55 10)2.

Как решаем: воспользуемся формулой квадрата суммы: (55 10)2 = 552 2 * 55 * 10 102 = 3025 1100 100 = 4225.

Задание 2

Что сделать: упростить выражение 64 * с3 – 8.

Как решаем: применим разность кубов: 64 * с3 – 8 = (4 * с)3 – 23 = (4 * с – 2)((4 * с)2 4 * с * 2 22) = (4 * с – 2)(16 * с2 8 * с 4).

Задание 3

Что сделать: раскрыть скобки (7 * y — x) * (7 * y x).

Как решаем:

1. Произведем умножение: (7 * y — x) * (7 * y x) = 7 * y * 7 * y 7 * y * x — x * 7 * y — x * x = 49 * y² 7 * y * x — 7 * y * x — x² = 49 * y² — x².
2. Используем формулу сокращенного умножения: (7 * y — x) * (7 * y x) = (7 * y)² — x² = 49 * y² — x².

Многочленов бояться не стоит, просто совершайте последовательно каждое действие. С формулами решать задачки быстрее и удобнее — сохраняйте шпаргалку, запоминайте и радуйте своих учителей 🙂

Как читать формулы сокращенного умножения

Учимся проговаривать формулы сокращенного выражения:

1. Разность квадратов двух выражений равна произведению их разности и их суммы.
2. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого плюс удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго.
3. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго.
4. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго на неполный квадрат их разности.
5. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго на неполный квадрат их суммы.
6. Куб суммы двух выражений равен кубу первого плюс утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.
7. Куб разности двух выражений равен кубу первого минус утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго минус куб второго.

Обучение на курсах по математике — дорога к хорошим оценкам в школе и высокому баллу на экзамене.

Общие сведения

Принцип решения любой математической задачи основан на получении оптимального ответа, который в дальнейшем возможно будет применить для других целей (доказательства теорем, тождеств, получения промежуточных величин). Оптимизация результата состоит из операций, имеющих собственный приоритет. Последний соответствует порядковому номеру элемента в списке:

1. Раскрытие скобок.
2. Возведение в степень, которая может быть целой и представленной в виде обыкновенной дроби (корень).
3. Произведение.
4. Частное или деление.
5. Сумма.
6. Разность.

В первом случае компоненты выражения группируются посредством скобок. В математике принято использовать только круглые, т. е. «()». Однако допускаются квадратные «[]», но некоторые начинающие математики иногда группируют элементы выражения при помощи фигурных скобок «{}». Это делать не рекомендуется, поскольку последние обозначают в дисциплинах с физико-математическим уклоном общее решение.

Иногда новички не знают, что возведение в степень и извлечение корня являются двумя эквивалентными операциями. Это утверждение легко доказывается. Например, квадратный корень из 36 эквивалентен 6. Знак радикала можно заменить степенью, имеющей вид обыкновенной или десятичной дроби, т. е. (36)^(½)=√36=6.

Произведение не всегда обладает высшим приоритетом, чем деление. Для удобства вычислений можно сначала разделить, а затем умножить. Например, требуется найти значение выражения «3*81:9». Его можно решить, основываясь на приоритетах или удобстве вычислений (оптимизации). Для сравнения расчетов нужно решить равенство двумя способами:

1. 3*81:9=243:9=27.
2. 3*(81:9)=3*9=27.

При решении получены одинаковые результаты. Следует отметить, что простой метод — второй. Операции сложения и вычитания имеют одинаковый приоритет. Упростить выражение — означает, что необходимо преобразовать его из сложной формы представления в простую. Иными словами, операция называется оптимизацией результата.

Оптимизация выражений применяется при решении уравнений (равенств с неизвестными величинами) любой сложности и доказательства теорем. Это базовые знания, необходимые для упрощения выражений в 5 классе.

Оптимизация обыкновенных дробей

Практически во всех заданиях или тренажерах большая часть примеров представлена в виде обыкновенной дроби вида s/t, которую нужно сократить. Иногда необходимо произвести операции произведения или деления одной величины на другую (буквенное обозначение — s/t и w/v), а также сложения и вычитания.

1. Если знаменатель одной дроби делится нацело на другой, следует оставить первый, записав множитель над второй величиной. Например, 4/5 4/25=(4*5 4*1)/25=24/25.
2. Когда v и t не делятся друг на друга, не имеют общих множителей, их нужно перемножить между собой, записав множители над числителями.
3. Если v и t содержат общие множители, единый знаменатель эквивалентен наименьшему общему кратному (НОК).

В последнем случае каждый знаменатель необходимо разложить на множители, затем перемножить между собой все неповторяющиеся компоненты. Следующим элементом, который необходимо для преобразования тождеств, являются формулы сокращенного умножения.

Приведение подобных элементов

Практически во всех заданиях нужно складывать общие элементы, полученные при расчетах или раскрытии скобок. Для этой операции необходимо руководствоваться следующими правилами:

1. Приведению подлежат только эквивалентные компоненты.
2. Операция выполняется только при арифметическом сложении и вычитании, а не делении и умножении.
3. Компоненты равные по модулю, но противоположные по знаку, уничтожаются, т. к. в сумме дают нулевое значение.
4. В любом выражении можно использовать противоположные числа, поскольку их общее значение не влияет на результат.

Группу «5t^2-4t^2» можно назвать операцией сложения, хотя на самом деле она называется разностью, которую записывают и в виде суммы: 5t^2 (-4t^2). Раскрывая скобки в последнем тождестве, можно получить упрощенную форму: 5t^2-4t^2. Далее необходимо ознакомиться с правилами раскрытия скобок.

Работа со степенями

В математических тождествах иногда необходимо упростить степенные выражения. Однако большинство математиков-новичков делает много ошибок, поскольку не знают основных правил:

1. p^0=1.
2. p^1=p.
3. (p^v)*(p^w)=p^(v w).
4. (p^v)/(p^w)=p^(v-w).
5. (p/s)^w=(p^w)/(s^w).
6. p^(-w)=1/(p^w).
7. (p^w)^v=p^(wv).

Нулевое значение в такой же степени является пустым множеством, т. е. его не существует. Cтепень может быть представлена в виде обыкновенной или десятичной дроби. В последнем случае для удобства ее необходимо перевести к первому типу. Если указано значение степенного показателя, равное 3/5, нужно величину возвести в куб, а затем изъять корень 5 порядка.

Раскрытие скобок

Операция раскрытия скобок для выполнения дальнейших вычислений очень часто применяется в различных дисциплинах с физико-математическим уклоном. Она осуществляется по следующим правилам:

1. Произведение на сумму или разность: r(s t)=rs rt или r(s-t)=rs-rt.
2. Деление суммы или разности: (s t)/r=s/r t/r или (s-t)/r=s/r-t/r.
3. Сгруппировать любые компоненты и поменять их местами с сохранением логики тождества: 3 4 11 7 19 33 23=(3 4 23) (19 11) (7 33)=30 30 40=100.

В первом и втором случаях операции называют вынесением общего множителя за скобки. Последнее правило группировки действует не на все компоненты, т. е невозможно выполнить объединение 2 и 3 элементов (5 и 4) в выражении «4:5 4-1 7». Для доказательства следует решить его двумя способами:

1. (4:5) (4-1) 7=0,8 10=10,8.
2. 4:(5 4) (7-1)=(4/9) 6=6[4/9] — смешанное число.

Выражение, решенное первым и вторым способом, имеет различные ответы, поскольку 10,8>6[4/9]. Объяснение этому несоответствию — нарушение логики тождества. Следующим компонентом, составляющим базу для упрощения тождеств, является работа со степенями.

Решение задач

Давайте потренируемся и рассмотрим примеры с дробями.

Сокращенное умножение

Для решения задач очень часто применяются формулы сокращенного умножения. В некоторых случаях тождества «собираются» в них или, наоборот, для сокращения нужно расписать элементы по множителям (правая часть равенства). Соотношения имеют следующий вид:

1. Квадрат суммы и разности двух чисел: (w v)^2=w^2 2wv v^2 и (w-v)^2=w^2-2wv v^2.
2. Разность квадратов и кубов: w^2-v^2=(w v)(w-v) w^3-v^3=(w-v)(w^2 wv v^2).
3. Куб суммы компонентов и их разности: (w v)^3=w^3 3wv^2 3vw^2 v^3 и (w-v)^3=w^3-3wv^2 3vw^2-v^3.

Cледует отметить, что в некоторых случаях к формуле сокращенного умножения тождество следует «подвести», воспользовавшись свойством отнимания и прибавления одного и того же значения. Например, необходимо из некоторого выражения (2t^2-60) выделить одну из формул. Это делается следующим образом:

1. Выносится общий множитель за скобки: 2(t^2-30).
2. Прибавляется и отнимается 6: 2(t^2-30 6-6).
3. Группируются элементы и записывается формула: 2(t^2-36 6)=2[(t-6)(t 6) 6].

Иногда в более сложных выражениях приходится применять несколько соотношений. Если тождество является дробью, обязательно следует проверить условие неравенства знаменателя нулевой величине. Для этой цели следует решить соответствующее уравнение, вычислив его корни.

Таким образом, для грамотной оптимизации математических выражений необходимо пользоваться рекомендациями специалистов, правилами и методиками, поскольку их несоблюдение могут существенно повлиять на результаты вычислений.

Упростить выражение | онлайн калькулятор

Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых

Пригодится, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два. 

(a1 a2 … an)2 = a12 a22 … an-12 an2 2 * a1 * a2 2 * a1 * a3 2 * a1 * a4 …

2 * a1 * an-1 2 * a1 * an 2 * a2 * a3 2 * a2 * a4 … 2 * a2 * an-1 2 * a2 * an …

2 * an-1 * an

Читается так: квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех этих слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.

Формула разности n-ых степеней двух слагаемых

an − bn = (a − b) * (an-1 an-2 * b an-3 * b2 … a * bn-2 bn-1).

Для четных показателей можно записать так:

a2*m − b2*m = (a2 − b2) *(a2*m−2 a2*m−4 * b2 a2*m−6 * b4 … b2*m−2).

Для нечетных показателей:

a2*m 1 − b2*·m 1 = (a − b) * (a2*m a2*m−1 * b a2*m−2 * b2 … b2*m).

Частными случаями являются формулы разности квадратов и кубов при n = 2 и n = 3. Для разности кубов b можно также заменить на −b.

Формулы сокращенного умножения

Вместо букв a, b могут быть любые числа, переменные или даже целые выражения. Для быстрого решения задач лучше выучить основные 7 формул сокращенного умножения (ФСУ) наизусть. Да, алгебра такая, нужно быть готовым много запоминать.

Ниже удобная табличка, которую можно распечатать и использовать, как закладку для быстрого запоминания формул.