Так сокращать дроби нельзя!

Основное свойство пропорции

Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов:

если И наоборот: если

Пример:

Является ли равенство

Решение:

Способ 1. Применим определение пропорции: Способ 2. Проверим, выполняется ли основное свойство пропорции пропорциональное соотношение чисел изменилось.В пропорциях взаимно обратными. Во взаимно обратных пропорциях пропорциональное соотношение чисел является одинаковым с точностью до порядка сравнения. Действительно, в обеих пропорциях сравниваются две какие-то величины — меньшая и большая, например, толщина линейки и толщина учебника. Но в первой пропорции сопоставляют меньшую величину с большей, а во второй, наоборот, — большую с меньшей, причём одни и те же величины. Можно сказать и так: вторая пропорция — это первая пропорция, которую записали справа налево. В ней одновременно поменяли местами и средние, и крайние члены. Будем считать, что при переходе от данной пропорции к обратной и наоборот пропорциональное соотношение чисел не меняется.

Пример:

Изменится ли пропорциональное соотношение чисел, если средние члены пропорции поменять местами с соответствующими крайними членами? Нет. В самом деле, если в каждом отношении пропорции

Опираясь на основное свойство пропорции, можно находить неизвестный член пропорции.

Пример:

Найдите неизвестный член пропорции: 1)

Решение:

1. Неизвестным является крайний член пропорции

Вероятность случайного события

В повседневной жизни часто планируются разные события, о которых можно сказать, произойдут они или нет. Примером таких событий могут быть: празднование дня рождения, поход в школу, получение хорошей оценки, поездка с родителями за город и др.

Определение:

Событие, о котором можно сказать, что оно произойдёт или не произойдёт при определённых условиях, называется случайным событием, или (кратко) событием.

случайным, или стохастическим. Он является испытанием. Условия проведения испытания являются неизменными. Возможные результаты испытания известны, но нельзя заранее знать, какой именно из них будет иметь место. Например, если мы будем подбрасывать монету один раз, то возможны два следствия: выпадет или «герб», или «цифра» (рис, 76), однако нельзя точно сказать, что именно выпадет. Поэтому подбрасывание монеты является испытанием, а появление «герба» или «цифры» — это события

Пример:

Сколько событий могут произойти вследствие подбрасывания игрального кубика (рис. 77)? У кубика шесть граней, поэтому событий может быть шесть — выпадает 1 очко, 2 очка, S очка, 4 очка, 5 очков или 6 очков.

Обратите внимание:

все возможные результаты испытания образуют совокупность событий, однако испытание завершается наступлением лишь одного из этих событий.

Например, в результате одного подбрасывания игрального кубика из шести возможных событий произойдёт лишь одно событие — или выпадет 1 очко, или 2 очка, или S очка, или 4 очка, или 5 очков, или 6 очков. Иначе говорят: «Появлению 1 очка благоприятствует только одно событие».

Событие, которое в результате испытания непременно должно произойти, называют достоверным. Например, событие невозможным. Например, событие несовместимыми, если наступление одного из них исключает наступление другого. Такие события не могут наступить одновременно. Например, событие

События называют равновозможными, если в результате испытания появление каждого из них одинаково возможно по сравнению с другими. Например, при подбрасывании игрального кубика все шесть событий (« появление 1 очка» и т.д.) являются равновозможными.

Вероятность события — это количественная характеристика возможности наступления этого события в ходе испытания.

Для испытания, в котором все возможные события являются несовместными и равновозможными, вероятность события можно вычислить по формуле.

Определение:

Вероятностью события называется отношение количества благоприятных для событий к количеству всех равновозможных в данном испытании событий:

Пример:

Верно ли, что количество испытаний

Обратите внимание:

вероятность события может принимать значения только от 0 до 1. Вероятность достоверного события равна 1. а вероятность невозможного события — 0.

Пример:

Из коробки, где находятся 3 чёрных и 5 белых шариков, достали наугад один шарик. Какова вероятность того, что шарик:

1) чёрный; 2) белый?

Решение:

1. Событие

Определение:

Сумма вероятностей всех возможных событий испытания равна 1.

Пример:

Можно ли определить вероятность одного из двух возможных событий испытания, зная вероятность другого события? Да. Вероятность извлечения белого шарика в рассмотренной задаче можно было найти и по другому:

Пример:

Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков?

Решение:

Событие

Теория вероятностей — это раздел математики, изучающий закономерности случайных событий. Как самостоятельная наука, теория вероятностей возникла в середине XVII века. Тогда были распространены азартные игры, то есть игры, в которых результат зависел от случая (игры с кубиками, игра в «орлянку», некоторые карточные игры).

3. Обозначение probabilite — вероятность.

——

Все тесты

Окружность и круг

Окружность можно начертить циркулем (рис. 57). Если острие циркуля, каким начерчена окружность, находится в точке О, то эта точка — центр данной окружности. Отрезок, соединяющий любую точку окружности с ее центром, называется радиусом окружности. А отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через ее центр, — диаметром. На рисунке 58 точка О -центр окружности, Каждый диаметр в 2 раза длиннее радиуса, то есть .Форму окружности имеет обруч, обод стакана, экватор и параллели на глобусе и т. п. Чтобы измерить длину окружности, можно вдоль нее положить нить, а йотом измерить ее длину. А можно длину окружности не измерять, а вычислять. Ученые еще в древние времена установили, что отношение длины каждой окружности к длине ее диаметра равно одному и тому же числу, приближенное значение которого равно 3,14. Это число во всем мире обозначают буквой

Это — формула длины окружности.

Например, если радиус окружности равен 5 см, то ее длина

кругом (рис. 59). Центр, радиус, диаметр круга — это соответственно центр, радиус, диаметр окружности, которая ограничивает данный круг. Площадь круга, как и длина окружности, зависит от длины его радиуса. Доказано, что площадь каждого круга радиуса

Это — формула площади круга.

Например, если радиус круга равен 10 см, то площадь этого круга

Часть круга, ограниченная его двумя радиусами, называется круговым сектором. На рисунке 61 изображен круг, разделенный на 3 равные сектора. Подумайте, как можно найти площадь каждого из них, если радиус круга равен

Если крут вращать вокруг его диаметра, то образуется шар.

Все точки поверхности шара одинаково удалены от центра шара. Отрезок, соединяющий центр шара с любой точкой его поверхности, называется радиусом шара. Отрезок, который соединяет две точки поверхности шара и проходит через его центр, — диаметром шара. Диаметр шара равен двум его радиусам. Па рисунке 62 изображен шар с центром О и радиусом OA.

Если через центр шара провести плоскость, то она пересечет шар по кругу, а поверхность шара — по окружности. На географическом глобусе такими окружностями являются экватор и линии меридианов. Поскольку длина окружности радиуса

Кругами являются также основания цилиндра (рис. 63, а).

Разрезав поверхность цилиндра вдоль некоторых линий (каких?), ее можно развернуть. В результате образуется развертка поверхности цилиндра (рис. 63, б). Боковая поверхность цилиндра развертывается в прямоугольник. Основание этого прямоугольника равно длине окружности основания цилиндра. Если радиус основания цилиндра равен

Выполнение заданий:

Пример №57

Постройте при помощи компьютера секторную диаграмму, которая отображает состав винегрета (картофель — 40 г, свекла — 40 г, морковь — 24 г, лук — 10 г, огурец квашеный — 20 г, растительное масло — 4 г).

Решение:

1. Включите компьютер, при помощи кнопки «Пуск» создайте новый документ (рис. 78, а).

2. В открытом окне последовательно нажмите кнопки «Вставка»

4. Введите в таблицу заданные значения (рис. 79).

5. Сохраните и распечатайте полученное изображение. Оно может быть таким, как на рисунке 79.

Исторические сведения:

Отношения чисел интересовали ученых Египта и Вавилона еще 4000 лет назад. Математики Древней Греции исследовали в основном отношения отрезков. А поскольку длины отрезков выражаются числами, то все их знания об отношении отрезков верны и для отношения чисел.

Пропорции также были хорошо известны египтянам, вавилонянам и грекам. В знаменитом труде «Начала» Евклида (IV в. до н. э.) им посвящена вся пятая книга. В частности, в ней обосновано и много «производных пропорций», которые вытекают из какой-то данной.

Самой прекрасной пропорцией древние греки считали «золотую пропорцию», когда отрезок длиной

Окружность и круг людям были известны еще в древние времена. Раньше люди не различали окружность и круг.

В наших краях еще несколько тысячелетий назад женщины носили украшения, которые имели детали в виде окружностей (рис. 84). И колеса колесниц мастеровые люди умели изготовлять еще несколько тысячелетий до новой эры.

Изобретение колеса — большое открытие. Сначала люди пользовались катками, потом, чтобы катки не переносить, додумались вставлять их в прорезы, словно в подшипники. Со временем колеса начали изготовлять отдельно от оси, но из сплошного дерева. Только позже научились изготовлять колеса со спицами, которые были больше, легче и крепче. Схематически историю изобретения колеса показано на рисунке 85.

Интересная история числа

Главное в разделе:

Частное от деления двух чисел называют также их отношением. Отношение чисел

Основное свойство отношения. Значение отношения не изменится, если оба члена умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля. Например, 300 : 500 = 3:5.

Отношение дробных чисел всегда можно заменить отношением натуральных чисел. Например,

Процентным отношением называют отношение, выраженное в процентах. Например, 3:15 = 0,2 = 20 %.

Вероятностью события называют отношение количества благоприятных для него результатов к количеству всех возможных результатов. Например, вероятность того, что подброшенная монета упадет кверху гербом, равна 0,5.

Отношение длины каждой окружности к ее диаметру равно числу

Равенство двух oiношений называют пропорцией.

Примеры:

пропорций:

Основное свойство пропорции. Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних. То есть, если

Две величины называют пропорциональными (прямо пропорциональными), если с увеличением значений одной из них в несколько раз значения другой увеличиваются во столько же раз. Например, стоимость товара пропорциональна его количеству, пройденный автомобилем путь (при равномерном движении) пропорциональный времени движения. Если величины

Чтобы разделить число на части, пропорциональные данным числам, надо разделить его на сумму данных чисел и умножить на каждое из них. Разделим, например, число 540 на три части, пропорциональные числам 2, 3 и 5.

Умножив 54 на 2, на 3 и на 5, имеем: 108, 162 и 270.

Раздел 4

Пропорции

Отношения пропорциями.

Пропорция — это равенство двух отношений.

В пропорции крайними членами, средними членами пропорции.

Произведение крайних членов каждой пропорции равно произведению ее средних членов.

Это — основное свойство пропорции. Его можно проиллюстрировать на примерах. Если 1 : 2 = 3 : 6, то 1 • 6 = 2 • 3; если 0,3 : 1 = 2,1 : 7, то 0,3 • 7 = 1 • 2,1. А можно и доказать.

Пусть дано произвольную пропорцию

Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, достаточно произведение ее средних членов разделить на известный крайний. Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, достаточно произведение ее крайних членов разделить на известный средний. Основное свойство пропорции используют при решении уравнений, имеющих вид пропорции.

Приведем примеры решения таких уравнений:

Решение:

Подобным способом можно решать, например, и уравнение

Следовательно, средние члены пропорции можно менять местами. Так же можно показать, что местами можно менять и крайние члены пропорции.

Например, поскольку 0,2 : 0,3 = 2 : 3, то верны также пропорции 0,2 : 2 = 0,3 : 3 и 3 : 0,3 = 2 : 0,2.

Выполнение заданий:

Пропорция

Найдите отношение чисел: 36 к 9; 24 к 6. Сравните эти отношения.

Эти отношения равны, а поэтому можно записать:

Равенство двух отношений называют пропорцией.

С помощью букв пропорцию можно записать так:

Эти записи читают:

«отношение а к b равно отношению с к d»,

«а, деленное на b, равно с, деленному на d»,

«а относится к b, как с относится к d».

В пропорции a и d называют крайними членами пропорции, а числа b и с — средними членами.

Далее будем считать, что все члены пропорции отличны oт нуля.

Пропорция 36 : 9 = 24 : 6 верная, так как значением ее левой и правой частей является одно и то же число 4.

Найдите произведения крайних и средних членов этой пропорции. Сравните их.

В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов.

Это свойство называют основным свойством пропорции.

Итак, если пропорция

Верно и наоборот: если произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов, то эта пропорция верная.

Для верной пропорции

где а и d — крайние члены пропорции, bс — произведение средних членов пропорции.

Получили правило:

Чтобы найти крайний член пропорции, нужно произведение ее средних членов разделить на другой крайний член.

Аналогично

Чтобы найти средний член пропорции, нужно произведение ее крайних членов разделить на другой средний член.

Для тех, кто хочет знать больше

Из основного свойства пропорции следует, что если в верной пропорции поменять, местами средние члены или крайние члены, то получим новые верные пропорции.

Так, если пропорция

Пример:

Найти неизвестный член пропорции

Решение:

По правилу нахождения среднего члена пропорции имеем:

Пример:

Решить уравнение:

Решение:

Интересные рассказы

Пропорция и музыка

Слово «пропорция» (от латинского proportio) означает «соразмерность», «некоторое отношение частей между собой».

С помощью пропорций решали задачи еще в древние времена. Полная теория пропорций была создана в Древней Греции в IV в. до н. ч., в основном в работах ученых Эвдокса Книдского и Теэтета.

Теория пропорций в совершенстве изложена в «Началах» Эвклида, в частности там дано доказательство основного свойства пропорции

Древние греки называли учение об отношениях и пропорциях музыкой, которую считали областью математики. Они знали, что слабо натянутая струна 122 звучит ниже («толще»), а сильно натянутая струна лает более высокий звук. Но в каждом струнном музыкальном инструменте не одна, а несколько струн.

Чтобы все струны во время игры звучали «согласованно», приятно для слуха человека, их длины (а при условии одинаковой длины — толщины) должны находиться в определенном отношении. Поэтому учение об отношениях и пропорциях древние греки называли музыкой.

Пропорциональность использовалась и используется сегодня в искусстве, архитектуре. Использование пропорционапьности в архитектуре, живописи, скульптуре означает соблюдение определенных соотношений между отдельными частями сооружения, картины, скульптуры и т. п.

Современную запись пропорции

Процентные расчеты

Мы решали задачи на проценты путем сведения их к основным задачам на дроби. Эти задачи можно решать и с помощью пропорций. Рассмотрим такой способ решения задач на проценты.

Пусть в школе 50 шестиклассников. Тогда:

Какая существует зависимость между числом процентов и количеством учеников соответствующим этим процентам?

Во сколько раз увеличивается число процентов, во столько же раз увеличивается количество учеников, соответствующее этим процентам.

Итак, число процентов некоторой величины прямо пропорционально значению величины, которое соответствует этим процентам.

Помним, что 100% некоторой величины — это сама величина.

Пример:

Из свежих слив получают 21% сушеных. Сколько сушеных слив можно получить из 80 кг свежих?

Решение:

Пусть из 80 кг свежих слив можно получить

Какова зависимость между массой сушеных слив и числом процентов, которые составляет эта масса от массы свежих слив?

Масса сушеных слив прямо пропорциональна количеству процентов, которое составляет эта масса от массы свежих слив, поэтому:

Ответ. 16,8 кг. •

Пример:

Банк дал предпринимателю кредит 10 000 руб. со ставкой 7% годовых. Какую сумму должен вернуть предприниматель банку через пол года?

Решение:

Если процентная ставка за год составляет 7%, то за полгода будет насчитано

Ответ. 10 350 руб.

Пример:

Фермер в прошлом году собрал в среднем по 30 ц зерновых с 1 га, а в нынешнем году — по 32 ц. На сколько процентов увеличилась урожайность зерновых в нынешнем году по сравнению с прошлым годом?

Решение:

Сначала найдем, на сколько центнеров больше зерновых собрал фермер в нынешнем году: 32-30 = 2 (ц). Теперь вычислим, сколько процентов составляет найденная разность от урожая прошлого года. Поскольку сравниваем с урожайностью прошлого года, то 30 ц составляет 100%, а 2 ц —

Чтобы узнать, на сколько процентов увеличилась или уменьшилась данная величина, нужно найти:

1. на сколько единиц увеличилась или уменьшилась данная величина;
2. сколько процентов составляет полученная разность от начального значения величины.

Пример:

В процессе перегонки нефти из нее получают 30% керосина. Сколько нужно нефти, чтобы получить 9 т керосина?

Решение:

Масса нефти составляет 100%, а масса керосина — 30%. Пусть для того, чтобы получить 9 т керосина, нужно переработать

Ответ. 30 т.

Пример:

Сколько процентов составляет число 24 от числа 30?

Решение:

Так как число 24 сравниваем с числом 30, то число 30 составляет 100%. Пусть число 24 составляет

Ответ. 80%.

Пример:

Цену товара, который стоил 200 руб., снизили на 10%. На сколько процентов нужно повысить новую цену, чтобы получить начальную?

Решение:

Начальная цена (200 руб.) составляет 100%, а сниженная цена составляет 100% — 10% = 90% от начальной. Пусть цена после снижения равна

Прямая пропорциональная зависимость

Пример:

Три метра ткани стоят 60 руб. Сколько стоят 6 м этой же ткани?

Решение:

Пойдите два способа решения задачи.

I способ

1) 60 : 3 = 20 (руб.) — стоит 1 м ткани.

2) 20 • 6 — 120 (руб. ) — стоят 6 м ткани

II способ

1) 6 : 3 = 2 — во сколько раз увеличилось количество ткани.

2) 60 • 2 = 120 (фн.) — стоят 6 м ткани (стоимость увеличилась в два раза).

Ответ. 120 руб.

Решая задачу вторым способом, мы рассуждали так:

а) стоимость ткани при постоянной цене зависит от количества метров ткани (то есть между стоимостью ткани и ее количеством существует зависимость);

б) эта зависимость имеет такое свойство: во сколько раз увеличивается количество метров ткани, во столько же раз увеличивается ее стоимость; если количество метров ткани уменьшается, то во столько же раз уменьшается ее стоимость.

Зависимость между величинами, имеющую такое свойство, называют прямой пропорцинальной зависимостью.

Зависимость двух величин называют прямой пропорциональной, если при увеличении (уменьшении) одной величины в несколько раз ко столько же раз увеличивается (уменьшается) другая величина.

В решении задачи речь идет о двух величинах, зависимость между которыми является прямой пропорциональной, или о двух прямо пропорциональных величинах: количестве метров ткани и их стоимости

3 м ткани стоят 60 три., или трем метрам ткани соответствует стоимость 60 руб. А 6 м ткани соответствует стоимость 120 руб. Из определения прямой пропорциональной зависимости следует, что отношение количества метров ткани

Итак, если две величины являются прямо пропорциональными, то отношение значений одной величины равно отношению соответствующих значений другой величины.

Решить задачи с помощью пропорций.

Пример:

Из 10 кг яблок получают 8 кг яблочного пюре. Сколько яблочного пюре получат из 44 кг яблок?

Решение:

Пусть из 44 кг яблок получат

Масса яблок и соответствующая масса яблочного пюре являются прямо пропорциональными, так как во сколько раз больше мы возьмем яблок, во столько же раз больше получим яблочного пюре

По свойству прямо пропорциональных величин запишем пропорцию:

Откуда

Ответ. 35.2 кг.

Пример:

Расстояние между Киевом и Тернополем равно 360 км. Каково расстояние между этими городами на карте с масштабом 1 : 5 000 000?

Решение:

Так как масштаб карты 1 :5 000 000, то 1 см на карте соответствует 5 000 000 см = 50 км на местности. Пусть расстояние между Киевом и Тернополем на карте равно

Расстояние на местности прямо пропорционально расстоянию на карте.

Поэтому

Ответ. 7,2 см.

Пример:

Сплав состоит из меди, цинка и никеля, массы которых относятся как 13:3:4. Найти массу сплава, если для его изготовления использовали 1,8 кг цинка. (Отношение 13:3:4 означает, что в сплаве на медь приходится 13 частей, на цинк — 3 таких же по массе части на никель — 4 части.)

Решение:

Сплав состоит из 13 3 4 = 20 частей, из которых на цинк приходится 3 части. Пусть масса сплава равна

При постоянной массе части количество частей и их масса прямо пропорциональны.

Поэтому

Ответ. 12 кг.

Столбчатые и круговые диаграммы

Для наглядной иллюстрации числовых значений величин используют диаграммы. Диаграмма — это символический рисунок, который наглядно отражает соотношения между значениями величин. Чаще всего используют столбчатые и круговые диаграммы.

Рассмотрим пример. Ученик шестого класса в октябре записал в дневнике погоды: 17.10 — облачно, 18.10 — облачно, 19.10 — солнечно, 20.10—дождь, 21.10 — дождь, 22.10 — облачно, 23.10 — солнечно, 24.10 — солнечно, 25.10 — облачно, 26.10 — дождь, 27.10 — дождь, 28.10 — дождь, 29.10 — облачно, 30.10 — солнечно, 31.10 — облачно.

Чтобы охарактеризовать погоду во второй половине октября, он подсчитал, сколько было солнечных дней, облачных дней, сколько дней шел дождь и получил такие данные: солнечных дней — 4; облачных дней — 6; дней, когда шел дождь, — 5.

Наглядно охарактеризовать погоду во второй половине октября можно так. Построим прямой угол АОВ, на луче OA будем записывать погоду, а на луче ОВ, выбрав единицу измерения (1 см), будем обозначать количество дней. Построим три столбика (прямоугольника) (рис. 18).

Высота первого столбика, указывающего, сколько было солнечных дней. — 4 см; высота второго, указывающего количество облачных дней. — 6 см, высота третьего, указывающего, сколько дней шел дождь, — 5 см.

Полученный рисунок называют столбчатой диаграммой.

Строя столбчатые диаграммы, можно выбирать произвольную ширину столбца и произвольные расстояния между ними. Но все столбики одной диаграммы должны быть одинаковой ширины и располагаться на одинаковом расстоянии друг от друга.

Следующую диаграмму (рис. 19) называют круговой. На ней показано соотношение между площадями поверхностей суши и Мирового океана на Земле.

Пример:

После сбора урожая зерновых культур выяснилось, что 50% всего урожая составляет пшеница, 15% — рожь, 10% — овес и 25% — ячмень. Построить столбчатую и круговую диаграммы распределения урожая зерновых по вилам культур.

Решение:

Столбчатая диаграмма распределения урожая изображена на рисунке 20, а круговая — на рисунке 21.

Опишем построение круговой диаграммы. Так как на 100% урожая приходится весь круг, то на урожай пшеницы (50%) приходится полукруг, а на урожай ячменя (25%) — четверть круга. Чтобы построить сектор, которому соответствует урожай ржи (15% всего урожая), будем рассуждать так.

В секторе АОС, который составляет четверть круга, угол АОС равен 90°. Итак, на четверть, или на 25%, круга приходится сектор с углом 90°. Поэтому па 1% круга приходится сектор с углом 90° : 25 = 3,6°, а на 15% круга — сектор с углом 3,6° -15 = 54°. Построив с помощью транспортира угол АОВ, равный 54°, получили сектор АОВ, соответствующий урожаю ржи. Тогда остальная часть круга сектор ВОС соответствует урожаю овса.

Памятка:

1. — отношение; число 90 в три раза больше от числа 30. — отношение; число 30 составляет от числа 90.
2. — пропорция. — основное свойство пропорции.
3. Из сахарного тростника получают 9% сахара. Сколько сахара получат из 40 т сахарного тростника?
4. — длина окружности, — ее радиус,
5. — площадь круга, — его радиус.