Сокращение дробей — урок. Алгебра, 7 класс.

Содержание

Пояснение на примерах
Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковым знаменателем
Сокращение алгебраических дробей | алгебра
Сокращение алгебраических дробей с помощью формул сокращенного умножения
Сокращение дробей — урок. алгебра, 7 класс.
Умножение алгебраических дробей

Пояснение на примерах

Рассмотрим решения нескольких контрольных примеров по упрощению дробей. В качестве подготовки можно попробовать решить предлагаемые примеры самостоятельно.

Пример 1

Тренажер. Соедините соответствующие карточки с формулами сокращенного умножения.

Пример 2

Пример 3

Пример 4

Пример 5

Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковым знаменателем

При сложении и вычитании алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями знаменатель остается прежним, а числители складывают или вычитают (из числителя первой вычитают числитель второй дроби).

Пример №5.

Выполним сложение дробей:

Здесь одинаковые знаменатели, поэтому записываем его, а числители складываем: при сложении видим подобные слагаемые, которые приводим и получаем в числителе 5х.

Пример №6.

Выполним вычитание дробей:

В знаменатель записываем 2х, а из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, при этом не забываем вычитаемое взять в скобки, если оно является многочленом. Затем раскрываем скобки, помня о том, что необходимо поменять знаки на противоположные, так как перед ними стоит знак «минус». Затем приводим подобные слагаемые и получаем новый числитель.

Сокращение алгебраических дробей | алгебра

Сокращение алгебраических (рациональных) дробей основано на их основном свойстве: если числитель и знаменатель дроби разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.

Сокращать можно только множители!

Члены многочленов сокращать нельзя!

Чтобы сократить алгебраическую дробь, многочлены, стоящие в числителе и знаменателе, нужно предварительно разложить на множители.

Рассмотрим примеры сокращения дробей.

$[1)frac{{24{a^2}b{c^{30}}}}{{36{a^7}b{c^5}}}]$

В числителе и знаменателе дроби стоят одночлены. Они представляют собой произведение (чисел, переменных и их степеней), множители сокращать можем.

Другие сокращения: Рак шейки матки. Не дайте себя уничтожить! - Медицинский кабинет ≪АРТЕМИСА≫

Числа сокращаем на их наибольший общий делитель, то есть на наибольшее число, на которое делится каждое из данных чисел. Для 24 и 36 это — 12. После сокращения от 24 остается 2, от 36 — 3.

Степени сокращаем на степень с наименьшим показателем. Сократить дробь — значит, разделить числитель и знаменатель на один и тот же делитель, а при делении степеней показатели вычитаем.

a² и a⁷ сокращаем на a². При этом в числителе от a² остается единица (1 пишем только в том случае, когда кроме нее после сокращения других множителей не осталось. От 24 осталась 2, поэтому 1, оставшуюся от a², не пишем). От a⁷ после сокращения остается a⁵.

b и b сокращаем на b, полученные в результате единицы не пишем.

c³º и с⁵ сокращаем на с⁵. От c³º остается c²⁵, от с⁵ — единица (ее не пишем). Таким образом,

$[frac{{24{a^2}b{c^{30}}}}{{36{a^7}b{c^5}}} = frac{{2{c^{25}}}}{{3{a^5}}};]$

$[2)frac{{8{x^2} - 12x}}{{2x - 3}}]$

Числитель и знаменатель данной алгебраической дроби — многочлены. Сокращать члены многочленов нельзя! (нельзя сократить, к примеру, 8x² и 2x!). Чтобы сократить эту дробь, надо многочлены разложить на множители. В числителе есть общий множитель 4x. Выносим его за скобки:

$[frac{{8{x^2} - 12x}}{{2x - 3}} = frac{{4x(2x - 3)}}{{2x - 3}} = frac{{4x}}{1} = 4x;]$

И в числителе, и в знаменателе есть одинаковый множитель (2x-3). Сокращаем дробь на этот множитель. В числителе получили 4x, в знаменателе — 1. По 1 свойству алгебраических дробей, дробь равна 4x.

$[3)frac{{25{x^2} 10x 1}}{{25{x^2} - 1}}]$

Сокращать можно только множители (сократить данную дробь на 25x² нельзя!). Поэтому многочлены, стоящие в числителе и знаменателе дроби, нужно разложить на множители.

В числителе — полный квадрат суммы, в знаменателе — разность квадратов. После разложения по формулам сокращенного умножения получаем:

Другие сокращения: Английские буквы в анализах мочи. Как расшифровать?

$[frac{{25{x^2} 10x 1}}{{25{x^2} - 1}} = frac{{{{(5x 1)}^2}}}{{(5x - 1)(5x 1)}} = ]$

Сокращаем дробь на (5x 1) (для этого в числителе зачеркнем двойку в показатель степени, от (5x 1)² при этом останется (5x 1)):

$[ = frac{{(5x 1)}}{{(5x - 1)}} = frac{{5x 1}}{{5x - 1}};]$

$[4)frac{{18 6a 2{a^2}}}{{27 - {a^3}}}]$

В числителе есть общий множитель 2, вынесем его за скобки. В знаменателе — формула разности кубов:

$[ = frac{{18 6a 2{a^2}}}{{27 - {a^3}}} = frac{{2(9 3a {a^2})}}{{(3 - a)(9 3a {a^2})}} = ]$

В результате разложения в числителе и знаменателе получили одинаковый множитель (9 3a a²). Сокращаем дробь на него:

$[ = frac{2}{{3 - a}};]$

$[5)frac{{{x^3} 2{x^2} x 2}}{{{x^3} 8}}]$

Многочлен в числителе состоит из 4 слагаемых. Группируем первое слагаемое со вторым, третье — с четвертым и выносим из первых скобок общий множитель x². Знаменатель раскладываем по формуле суммы кубов:

$[frac{{{x^3} 2{x^2} x 2}}{{{x^3} 8}} = frac{{({x^3} 2{x^2}) (x 2)}}{{(x 2)({x^2} - 2x 4)}} = ]$

$[ = frac{{{x^2}(x 2) (x 2)}}{{(x 2)({x^2} - 2x 4)}} = ]$

В числителе вынесем за скобки общий множитель (x 2):

$[ = frac{{(x 2)({x^2} 1)}}{{(x 2)({x^2} - 2x 4)}} = ]$

Сокращаем дробь на (x 2):

$[ = frac{{{x^2} 1}}{{{x^2} - 2x 4}};]$

$[6)frac{{{a^5} - {a^3}}}{{{a^5} {a^6}}}]$

Сокращать можем только множители! Чтобы сократить данную дробь, нужно стоящие в числителе и знаменателе многочлены разложить на множители. В числителе общий множитель a³, в знаменателе — a⁵. Вынесем их за скобки:

$[frac{{{a^5} - {a^3}}}{{{a^5} {a^6}}} = frac{{{a^3}({a^2} - 1)}}{{{a^5}(1 a)}} = ]$

Множители — степени с одинаковым основанием a³ и a⁵ — сокращаем на a³. От a³ остается 1, мы ее не пишем, от a⁵ остается a². В числителе выражение в скобках можно разложить как разность квадратов:

$[ = frac{{(a - 1)(a 1)}}{{{a^2}(1 a)}} = ]$

Сокращаем дробь на общий делитель (1 a):

$[ = frac{{a - 1}}{{{a^2}}}.]$

А как сокращать дроби вида

$[frac{{a - b}}{{b - a}},]$

в которых стоящие в числителе и знаменателе выражения отличаются только знаками?

Примеры сокращения таких дробей мы рассмотрим в следующий раз.

Сокращение алгебраических дробей с помощью формул сокращенного умножения

На практике часто встречаются дроби, в числителе и знаменателе которых имеются выражения в различной степени, например, квадратные, кубические.

Другие сокращения: «Bubble Baba Challenge» / 2022 Winter Edition / Регламент соревнований

Для таких выражений используют формулы сокращенного умножения.

Приведем упомянутые тождества:

Формула 1

Разность квадратов: a2-b2=(a-b)(a b)

Формула 2

Квадрат суммы: (a b)2=a2 2ab b2

Формула 3

Квадрат разности: (a-b)2=a2-2ab b2

Формула 4

Сумма кубов: a3 b3=(a b)(a2-ab b2)

Формула 5

Разность кубов: a3-b3=(a-b)(a2 ab b2)

Формула 6

Куб суммы: (a b)3=a3 3a2b 3ab2 b3

Формула 7

Куб разности: (a-b)3=a3-3a2b 3ab2-b3

Сокращение дробей — урок. алгебра, 7 класс.

Умножение алгебраических дробей

Алгоритм действий

Чтобы перемножить алгебраические дроби, надо числитель перемножить с числителем, а знаменатель со знаменателем. При необходимости выполнить сокращение алгебраической дроби, используя правило.

Пример №9. Выполнить умножение дробей:

Здесь перемножаем числители и знаменатели, полученную дробь сокращаем на 2с.

Пример №10

. Выполнить умножение дробей:

Здесь в числителях и знаменателях – многочлены. Поэтому при записи умножения обязательно заключаем их в скобки. При этом мы видим, что числитель и знаменатель содержат одинаковые множители – многочлены (х 2), поэтому можно сократить дробь на этот многочлен.