Сокращение алгебраических дробей | Алгебра

Содержание

Бином ньютона
Доказательство формул сокращенного умножения
Дополнительные формулы сокращенного умножения
Задание 1
Задание 2
Задание 3
Как сокращать алгебраические дроби
Как читать формулы сокращенного умножения
Квадрат суммы
Квадрат суммы: ((a b)^2=a^2 2ab b^2)
Разность квадратов
Разность квадратов (a^2-b^2=(a b)(a-b))
Решение задач
Сокращение алгебраических дробей — урок. алгебра, 8 класс.
Сокращение алгебраических дробей | алгебра
Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых
Формула разности n-ых степеней двух слагаемых
Формулы сокращенного умножения

Бином ньютона

Формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных. Записывается вот так:
запись формулы для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных Пример вычисления биномиальных коэффициентов, которые стоят в строке под номером n в треугольнике Паскаля:
Пример вычисления биномиальных коэффициентов, которые стоят в строке под номером n в треугольнике Паскаля:

ФСУ для квадрата и куба суммы и разности — являются частными случаями формулы бинома Ньютона при n = 2 и n = 3.

Доказательство формул сокращенного умножения

Напомним, что разность квадратов двух чисел a и b равна произведению их разности и их суммы: a2 — b2 = (a — b) * (a b).

Иначе говоря, произведение суммы a и b на их разность равна разности их квадратов: (a — b) * (a b) = a2 — b2.

Важно знать, что разность квадратов не равна квадрату разности: a2 — b2 ≠ (a — b)2.

Докажем, что a2 — b2 = (a — b) * (a b).

Поехали:

Используя искусственный метод, прибавим и отнимем одно и тоже a * b.
a * b — a * b = 0
a² — b² = a² — b² ab — ab

Сгруппируем иначе: a² — b² a * b — a * b = a² — a * b a * b — b²

Продолжим группировать: a² — a * b — b² a * b = (a² — a * b) (a * b — b²)

Вынесем общие множители за скобки:
(a² — a * b) (a * b — b²) = a *(a — b) b *(a — b)

Вынесем за скобки (a — b). a * (a — b) b * (a — b) = (a — b) * (a b)

Результат доказательства: a² — b² = (a — b) * (a b)

Для того, чтобы доказать в обратную сторону: (a — b) * (a b) = a² — b², нужно раскрыть скобки: (a — b) * (a b) = a * a a * b — b * a — b * b = a² — b².

Остальные ФСУ можно доказать аналогичным методом.

Дополнительные формулы сокращенного умножения

К таблице основных ФСУ следует добавить еще несколько важных тождеств, которые пригодятся для решения задач.

Задание 1

Что сделать: вычислить квадрат произведения (55 10)2.

Как решаем: воспользуемся формулой квадрата суммы: (55 10)2 = 552 2 * 55 * 10 102 = 3025 1100 100 = 4225.

Задание 2

Что сделать: упростить выражение 64 * с3 – 8.

Как решаем: применим разность кубов: 64 * с3 – 8 = (4 * с)3 – 23 = (4 * с – 2)((4 * с)2 4 * с * 2 22) = (4 * с – 2)(16 * с2 8 * с 4).

Задание 3

Что сделать: раскрыть скобки (7 * y — x) * (7 * y x).

Как решаем:

Произведем умножение: (7 * y — x) * (7 * y x) = 7 * y * 7 * y 7 * y * x — x * 7 * y — x * x = 49 * y² 7 * y * x — 7 * y * x — x² = 49 * y² — x².
Используем формулу сокращенного умножения: (7 * y — x) * (7 * y x) = (7 * y)² — x² = 49 * y² — x².

Многочленов бояться не стоит, просто совершайте последовательно каждое действие. С формулами решать задачки быстрее и удобнее — сохраняйте шпаргалку, запоминайте и радуйте своих учителей 🙂

Как сокращать алгебраические дроби

wikiHow работает по принципу вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали, в том числе анонимно, 9 человек(а).

Количество просмотров этой статьи: 5355.

Как читать формулы сокращенного умножения

Учимся проговаривать формулы сокращенного выражения:

Разность квадратов двух выражений равна произведению их разности и их суммы.

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого плюс удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго.

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго.

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго на неполный квадрат их разности.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго на неполный квадрат их суммы.

Куб суммы двух выражений равен кубу первого плюс утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.

Куб разности двух выражений равен кубу первого минус утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго минус куб второго.

Другие сокращения: Направление Информатика и вычислительная техника, бакалавриат, код направления 09.03.01 — Учёба.ру

Обучение на курсах по математике — дорога к хорошим оценкам в школе и высокому баллу на экзамене.

Квадрат суммы

Пусть у нас возводиться в квадрат сумма двух одночленов, вот так: ((a b)^2). Возведение в квадрат – это умножение числа или выражения само на себя, то есть, ((a b)^2=(a b)(a b)). Теперь мы можем просто раскрыть скобки, перемножив их как делали это здесь, и привести подобные слагаемые. Получаем:

А если мы опустим промежуточные вычисления и запишем только начальное и конечное выражения, получим окончательную формулу:

Квадрат суммы: ((a b)^2=a^2 2ab b^2)

Большинство учеников учат ее наизусть. А вы теперь знаете, как эту формулу вывести, и если вдруг забудете – всегда можете это сделать.Хорошо, но как ей пользоваться и зачем эта формула нужна? Квадрат суммы позволяет быстро писать результат возведения суммы двух слагаемых в квадрат. Давайте посмотрим на примере.

Пример. Раскрыть скобки: ((x 5)^2)Решение:

Обратите внимание, насколько быстрее и меньшими усилиями получен результат во втором случае. А когда вы эту и другие формулы освоите до автоматизма – будет еще быстрее: вы сможете просто сразу же писать ответ. Поэтому они и называются формулы СОКРАЩЕННОГО умножения. Так что, знать их и научиться применять – точно стоит.

На всякий случай отметим, что в качестве (a) и (b) могут быть любые выражения – принцип остается тем же. Например:

Если вы вдруг не поняли какие-то преобразования в двух последних примерах – повторите свойства степеней и тему приведения одночлена к стандартному виду.

Пример. Преобразуйте выражение ((1 5x)^2-12x-1 ) в многочлен стандартного вида.

Решение:

((1 5x)^2-12x-1= )		Раскроем скобки, воспользовавшись формулой квадрата суммы…
(=1 10x 25x^2-12x-1=)		…и приведем подобные слагаемые.
(=25x^2-2x)		Готово.

Ответ: (25x^2-2x).

Важно! Необходимо научиться пользоваться формулами не только в «прямом», но и в «обратном» направлении.

Пример. Вычислите значение выражения ((368)^2 2·368·132 (132)^2) без калькулятора.

Решение:

((368)^2 2·368·132 (132)^2=)		Мда… возводить в квадрат трехзначные числа, перемножить их же, а потом все это складывать – удовольствие ниже среднего. Давайте искать другой путь: обратите внимание, что данное нам числовое выражение очень похоже на правую часть формулы. Применим ее в обратную сторону: (a^2 2ab b^2=(a b)^2)
(=(368 132)^2=)		Вот теперь вычислять гораздо приятнее!
(=(500)^2=250 000.)		Готово.

Ответ: (250 000).

Разность квадратов

Итак, мы разобрались с ситуациями произведения двух скобок с плюсом в них и двух скобок с минусом. Остался случай произведения одинаковых скобок с разными знаками. Смотрим, что получится:

Получили формулу:

Разность квадратов (a^2-b^2=(a b)(a-b))

Эта формула одна из наиболее часто применяемых при разложении на множители и работе с алгебраическими дробями.

Пример. Сократите дробь (frac{x^2-9}{x-3}).

Решение:

(frac{x^2-9}{x-3})(=)		Да, я знаю, что рука так и тянется сократить иксы и девятку с тройкой – однако так делать ни в коем случае нельзя, ведь и в числителе, и в знаменателе стоит минус! Попробуем воспользоваться формулой.
(=) (frac{x^2-3^2}{x-3})(=)(frac{(x 3)(x-3)}{x-3})(=)		Вот теперь все плюсы и минусы попрятались в скобки, и значит без проблем можем сокращать одинаковые скобки.
(=x 3)		Готов ответ.

Другие сокращения: ГОСТ 15527-70 Сплавы медно-цинковые (латуни), обрабатываемые давлением. Марки (с Изменениями N 1-3, Поправкой) от 18 февраля 1970 -

Ответ: (x 3).

Пример.Разложите на множители (25x^4-m^{10} t^6). Решение:

(25x^4-m^{10} t^6)		Воспользуемся формулами степеней: ((a^n )^m=a^{nm}) и (a^n b^n=(ab)^n).
(=(5x^2 )^2-(m^5 t^3 )^2=)		Ну, а теперь пользуемся формулой (a^2-b^2=(a b)(a-b)), где (a=5x^2) и (b=m^5 t^3).
(=(5x^2-m^5 t^3 )(5x^2 m^5 t^3 ))		Готов ответ.

Это три основные формулы, знать которые нужно обязательно! Есть еще формулы с кубами (см. выше), их тоже желательно помнить либо уметь быстро вывести. Отметим также, что в практике часто встречаются сразу несколько таких формул в одной задаче – это нормально. Просто приучайтесь замечать формулы и аккуратно применяйте их, и все будет хорошо.

Пример (повышенной сложности!).Сократите дробь (frac{x^2-4xy-9 4y^2}{x-2y 3}) . Решение:

(frac{x^2-4xy-9 4y^2}{x-2y 3})(=)		На первый взгляд тут тихий ужас и сделать с ним ничего нельзя (вариант «лечь и помереть» всерьез не рассматриваем). Однако давайте попробуем поменять два последних слагаемых числителя местами и добавим скобки (просто для наглядности).
(frac{(x^2-4xy 4y^2)-9}{x-2y 3})(=)		Теперь немного преобразуем слагаемые в скобке: (4xy) запишем как (2·x·2y), а (4y^2) как ((2y)^2).
(frac{(x^2-4xy (2y)^2)-9}{x-2y 3})(=)		Теперь приглядимся – и заметим, что в скобке у нас получилась формула квадрата разности, у которой (a=x), (b=2y). Сворачиваем по ней к виду скобки в квадрате. И одновременно представляем девятку как (3) в квадрате.
(frac{(x-2y)^2-3^2}{x-2y 3})(=)		Еще раз внимательно смотрим на числитель… думаем… думаем… и замечаем формулу разности квадратов, у которой (a=(x-2y)), (b=3). Раскладываем по ней к произведению двух скобок.
(frac{(x-2y-3)(x-2y 3)}{x-2y 3})(=)		И вот теперь сокращаем вторую скобку числителя и весь знаменатель.
(x-2y-3)		Готов ответ.

Решение задач

Давайте потренируемся и рассмотрим примеры с дробями.

Сокращение алгебраических дробей — урок. алгебра, 8 класс.

Приёмы разложения многочленов на множители:

— вынесение общего множителя за скобку;

— использование тождеств сокращённого умножения;

Сокращение алгебраических дробей | алгебра

Сокращение алгебраических (рациональных) дробей основано на их основном свойстве: если числитель и знаменатель дроби разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.

Сокращать можно только множители!

Члены многочленов сокращать нельзя!

Чтобы сократить алгебраическую дробь, многочлены, стоящие в числителе и знаменателе, нужно предварительно разложить на множители.

Рассмотрим примеры сокращения дробей.

$[1)frac{{24{a^2}b{c^{30}}}}{{36{a^7}b{c^5}}}]$

В числителе и знаменателе дроби стоят одночлены. Они представляют собой произведение (чисел, переменных и их степеней), множители сокращать можем.

Числа сокращаем на их наибольший общий делитель, то есть на наибольшее число, на которое делится каждое из данных чисел. Для 24 и 36 это — 12. После сокращения от 24 остается 2, от 36 — 3.

Степени сокращаем на степень с наименьшим показателем. Сократить дробь — значит, разделить числитель и знаменатель на один и тот же делитель, а при делении степеней показатели вычитаем.

a² и a⁷ сокращаем на a². При этом в числителе от a² остается единица (1 пишем только в том случае, когда кроме нее после сокращения других множителей не осталось. От 24 осталась 2, поэтому 1, оставшуюся от a², не пишем). От a⁷ после сокращения остается a⁵.

b и b сокращаем на b, полученные в результате единицы не пишем.

c³º и с⁵ сокращаем на с⁵. От c³º остается c²⁵, от с⁵ — единица (ее не пишем). Таким образом,

Другие сокращения: Все самое главное, что нужно знать об Индивидуальном инвестиционном счете (ИИС)

$[frac{{24{a^2}b{c^{30}}}}{{36{a^7}b{c^5}}} = frac{{2{c^{25}}}}{{3{a^5}}};]$

$[2)frac{{8{x^2} - 12x}}{{2x - 3}}]$

Числитель и знаменатель данной алгебраической дроби — многочлены. Сокращать члены многочленов нельзя! (нельзя сократить, к примеру, 8x² и 2x!). Чтобы сократить эту дробь, надо многочлены разложить на множители. В числителе есть общий множитель 4x. Выносим его за скобки:

$[frac{{8{x^2} - 12x}}{{2x - 3}} = frac{{4x(2x - 3)}}{{2x - 3}} = frac{{4x}}{1} = 4x;]$

И в числителе, и в знаменателе есть одинаковый множитель (2x-3). Сокращаем дробь на этот множитель. В числителе получили 4x, в знаменателе — 1. По 1 свойству алгебраических дробей, дробь равна 4x.

$[3)frac{{25{x^2} 10x 1}}{{25{x^2} - 1}}]$

Сокращать можно только множители (сократить данную дробь на 25x² нельзя!). Поэтому многочлены, стоящие в числителе и знаменателе дроби, нужно разложить на множители.

В числителе — полный квадрат суммы, в знаменателе — разность квадратов. После разложения по формулам сокращенного умножения получаем:

$[frac{{25{x^2} 10x 1}}{{25{x^2} - 1}} = frac{{{{(5x 1)}^2}}}{{(5x - 1)(5x 1)}} = ]$

Сокращаем дробь на (5x 1) (для этого в числителе зачеркнем двойку в показатель степени, от (5x 1)² при этом останется (5x 1)):

$[ = frac{{(5x 1)}}{{(5x - 1)}} = frac{{5x 1}}{{5x - 1}};]$

$[4)frac{{18 6a 2{a^2}}}{{27 - {a^3}}}]$

В числителе есть общий множитель 2, вынесем его за скобки. В знаменателе — формула разности кубов:

$[ = frac{{18 6a 2{a^2}}}{{27 - {a^3}}} = frac{{2(9 3a {a^2})}}{{(3 - a)(9 3a {a^2})}} = ]$

В результате разложения в числителе и знаменателе получили одинаковый множитель (9 3a a²). Сокращаем дробь на него:

$[ = frac{2}{{3 - a}};]$

$[5)frac{{{x^3} 2{x^2} x 2}}{{{x^3} 8}}]$

Многочлен в числителе состоит из 4 слагаемых. Группируем первое слагаемое со вторым, третье — с четвертым и выносим из первых скобок общий множитель x². Знаменатель раскладываем по формуле суммы кубов:

$[frac{{{x^3} 2{x^2} x 2}}{{{x^3} 8}} = frac{{({x^3} 2{x^2}) (x 2)}}{{(x 2)({x^2} - 2x 4)}} = ]$

$[ = frac{{{x^2}(x 2) (x 2)}}{{(x 2)({x^2} - 2x 4)}} = ]$

В числителе вынесем за скобки общий множитель (x 2):

$[ = frac{{(x 2)({x^2} 1)}}{{(x 2)({x^2} - 2x 4)}} = ]$

Сокращаем дробь на (x 2):

$[ = frac{{{x^2} 1}}{{{x^2} - 2x 4}};]$

$[6)frac{{{a^5} - {a^3}}}{{{a^5} {a^6}}}]$

Сокращать можем только множители! Чтобы сократить данную дробь, нужно стоящие в числителе и знаменателе многочлены разложить на множители. В числителе общий множитель a³, в знаменателе — a⁵. Вынесем их за скобки:

$[frac{{{a^5} - {a^3}}}{{{a^5} {a^6}}} = frac{{{a^3}({a^2} - 1)}}{{{a^5}(1 a)}} = ]$

Множители — степени с одинаковым основанием a³ и a⁵ — сокращаем на a³. От a³ остается 1, мы ее не пишем, от a⁵ остается a². В числителе выражение в скобках можно разложить как разность квадратов:

$[ = frac{{(a - 1)(a 1)}}{{{a^2}(1 a)}} = ]$

Сокращаем дробь на общий делитель (1 a):

$[ = frac{{a - 1}}{{{a^2}}}.]$

А как сокращать дроби вида

$[frac{{a - b}}{{b - a}},]$

в которых стоящие в числителе и знаменателе выражения отличаются только знаками?

Примеры сокращения таких дробей мы рассмотрим в следующий раз.

Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых

Пригодится, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два.

(a1 a2 … an)2 = a12 a22 … an-12 an2 2 * a1 * a2 2 * a1 * a3 2 * a1 * a4 …

2 * a1 * an-1 2 * a1 * an 2 * a2 * a3 2 * a2 * a4 … 2 * a2 * an-1 2 * a2 * an …

2 * an-1 * an

Читается так: квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех этих слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.

Формула разности n-ых степеней двух слагаемых

an − bn = (a − b) * (an-1 an-2 * b an-3 * b2 … a * bn-2 bn-1).

Для четных показателей можно записать так:

a2*m − b2*m = (a2 − b2) *(a2*m−2 a2*m−4 * b2 a2*m−6 * b4 … b2*m−2).

Для нечетных показателей:

a2*m 1 − b2*·m 1 = (a − b) * (a2*m a2*m−1 * b a2*m−2 * b2 … b2*m).

Частными случаями являются формулы разности квадратов и кубов при n = 2 и n = 3. Для разности кубов b можно также заменить на −b.

Формулы сокращенного умножения

Вместо букв a, b могут быть любые числа, переменные или даже целые выражения. Для быстрого решения задач лучше выучить основные 7 формул сокращенного умножения (ФСУ) наизусть. Да, алгебра такая, нужно быть готовым много запоминать.