Решение дифференциальных уравнений онлайн. Любые с подробным решением.

Все тесты

Дифференциальные уравнения бернулли

ДУ Бернулли обычно представлено в следующем виде:

y’ b(x)y = c(x)yn

Обязательное условие, что функции b(x) и c(x) – являются непрерывными.

Дифференциальные уравнения второго порядка

Отличить ДУ 2-го порядка от таковых 1-го порядка достаточно просто – в их составе присутствует вторая производная (y’’) и не содержится производных более высокого уровня. 

Общий вид таких уравнений таков:

F(m,n,n’,n») = 0  

Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальные однородные уравнения высших порядков легко отличить, если они совпадают со следующим видом:

Для неоднородных справедлив другой формат:

Для выбора корректного пути решения ДУ, необходимо четко и правильно определить его тип. 

Для этого необходимо решить уравнение относительно его производной и проверить, возможно ли разложение функции на множители. После этого достаточно сравнить с одним из типов, приведенным в данной статье.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Обыкновенное диффуравнение (ДУ) 1-го порядка задается относительно некой функции, имеющей вид у(х):

F(x,y(x),y´(x)) = 0,

здесь, F(x,y,y’) – это функция, задающаяся для трех аргументов (в этом примере для х, у и у’).Таково строгое математическое определение ДУ.

Для примера можно привести следующее уравнение:

xy'(x) — y(x)2 = 0

функция вида F(x,y,p) = xp — y2

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Уравнения, не содержащие зависимую переменную y (и возможно несколько первых производных):, или.   ПодробнееУравнения, не содержащие независимую переменную x:.   ПодробнееУравнения, однородные относительно функции и ее производных y, y′, y′′, … :, причем.   ПодробнееОбобщенно однородные уравнения относительно переменных x, y:, причем.   ПодробнееДифференциальные уравнения с полной производной:.   Подробнее

Ду с разделяющимися переменными

Среди дифуров 1-го порядка можно выделить такие, где все переменные х и у можно преобразовать так, что они окажутся по разные стороны от знака равенства. 

Соответственно уравнения, где путем преобразований это возможно сделать, называются диффуравнениями с разделяющимися переменными. 

Их общий вид следующий:

После проведения нескольких преобразований, это выражение может быть сведено к следующему виду:

При составлении преобразований необходимо внимательно разделять переменные, не допуская, чтобы функции обращались в ноль, иначе возможна потеря некоторых значений.

Задача №1

Необходимо определить все возможные варианты решения диффуравнения, имеющего вид 

Последовательно рассмотрим решение.

Представленное диффуравнение может иметь смысл только при действительных значениях параметра х. Примем условие, что x ≠ 0, тогда выражение легко преобразовывается в следующее:

Если же, напротив, принять, что х = 0, то выражение приобретет следующий вид, характерный для любых функций y’, удовлетворяющих данному условию:

Можно заключить, что решением при справедливости условия х = 0 будет любая функция у, найденная, когда аргумент равен нулю. Остается только проинтегрировать полученное диффуравнение:

Данное выражение – это решение для приведенного диффуравнения.

Задача №2

Рассмотрим обыкновенный пример. Необходимо определить все возможные решения диффуравнения y’ = y(x2 ex)

Как решать? В первую очередь проводим разделение переменных в разные части уравнения:

Данные преобразования справедливы, если у ≠ 0.

Если рассмотреть вариант решения при нулевом показателе функции, то можно заметить ,что

Это означает, что y = 0 – одно из возможных решений задачи.

Рассмотрим другие варианты решений, для чего произведем интегрирование диффуравнения:

Финальная часть преобразований будет вторым решением диффуравнения. Останется только потенциировать это выражение, чтобы привести его к более явному виду:

Правильными решениями, в результате преобразований, будут:

Кроме того, можно воспользоваться онлайн системой для нахождения ответа. Подробные объяснения даны в решебниках Филиппова и Понтрягина.

Задача №3

Рассмотрим применение методики решения на примере. 

Необходимо найти решение дифференциального уравнения вида 

Решение заключается в следующем. Первоначально примем, что y = m∗n, следовательно, получается:

На следующем этапе нужно определить, что такое m (оно обязательно не должно быть равным нулю), при котором все выражение внутри скобок будет равно нулю. 

Получаем дополнительное дифференциальное уравнение:

Теперь необходимо принять одно из частных решений n = x2 1, которое соответствует равенству С2 — С1=0.

Выполняем оставшиеся преобразования:

Вполне очевидно, что ответом на условие задачи будет функция:

Задача №4

Рассмотрим примеры с объяснениями. Необходимо определить решения задачи Коши вида:

Ход решения строится в три этапа. На первом этапе решаем диффуравнение y’ = xy2 стандартным методом. Его решение приводить не будем, приведем только ответ:

Производим подстановку начального значения (х = 0, у = 1) в решение и находим значение С:

Производим подстановку полученного значения в ответ диффуравнения и получаем одно из частных решений:

Полученная функция – ответ на задачу Коши в этом примере.

Задача №5

Рассмотрим общее решение данного типа на примере. Необходимо выполнить поиск всех возможных решений уравнения:

Во время оценки уравнения в нем можно идентифицировать ДУ Бернулли с параметром ½. Оно легко сводится к линейному ДУ, для этого достаточно заменить выражения:

Находим производную:

Выполним деление по начальному уравнению Бернулли на 

и выполним необходимые преобразования:

Произведем замену параметра х на параметр у:

Теперь вычисляем интегрирующий модуль для данной функции, он будет равен:

Теперь производим ряд преобразований для вычисления решения диффуравнения:

Переписываем полученную функцию в неявном виде и получаем ответ:

Задача №6

Рассмотрим решение однородных диффуравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами на примере.

Найти решение диффуравнения 2-го порядка вида:

Во всех таких случаях начинаем с поиска характеристического уравнения:

Методы решения данного уравнения достаточно простые, можно воспользоваться калькулятором или быстро решить на листочке, поэтому их приводить не будем, запишем лишь корни – 1, 5. 

Поскольку это все действительные, неодинаковые числа, то можно записать функцию-решение в следующем виде:

Задача №7

Рассмотрим подробное решение. Необходимо определить все решения для уравнения y» y = cos x.

На первом этапе находим в составе неоднородного уравнения его однородную часть – это будет y» — y = 0. 

Для него уже выполняем поиск характеристического уравнения – оно будет иметь вид k2 1 = 0.

Корнями для данного характеристического уравнения являются k1 = -i и k2 = i. 

Исходя из этого записываем решение для однородного уравнения:

Из-за отсутствия параметра с производной первого порядка также будет справедливо записать:

Теперь остается только подставить найденные выражения:

Частное и общее решение для уравнения можно записать:

Задача коши для ду

При рассмотрении решения практически любого диффуравнения, имеющего вид F(m,n,n’) = 0, становится очевидно, что это бесконечно большое количество решений (это следствие самого возникновения диффуравнения). 

Чтобы это сделать, необходимо рассмотреть плоскость Xoy, где должна быть задана некая точка D0, имеющая координаты (x0, y0) – именно через них и должна пройти интегральная кривая, чтобы стать искомым ответом.

Когда мы с самого начала задаем точку D0(x0, y0) – это означает, задание начального условия y(x0) = y0.

Интегрирующий множитель

Если дифференциальное уравнение первого порядка не приводится ни к одному из перечисленных типов, то следует попытаться найти интегрирующий множитель, чтобы свести его к уравнению в полных дифференциалах:;.   Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним

Подробнее

Уравнения Бернулли:.   Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и приводящиеся к ним

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами:.   ПодробнееЛинейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами:.Решение методом Бернулли (двух функций)Решение методом Лагранжа (вариация постоянных)Решение линейной подстановкойЛинейные неоднородные уравнения со специальной неоднородной частью:,где – многочлены степеней и .   ПодробнееУравнения Эйлера:

При это важным условием теории является причисление r и k к действительным числам.

Однородные уравнения

Однородные уравнения не меняют свой вид при замене,где t – постоянная. При такой замене производная не меняется:.

В общем виде обобщенно однородные уравнения можно записать посредством однородных функций:,где и – однородные функции с равными показателями однородности, то есть обладающие следующим свойством:.

Приводящиеся к однородным,где и – однородные функции с равными показателями однородности. В общем виде такие уравнения можно выразить через произвольную функцию:.   Подробнее

Обобщенно однородные уравнения не меняют свой вид при замене,где t – постоянная, . Для производной такая замена выглядит так:.

В общем виде обобщенно однородные уравнения можно записать посредством однородных функций:,где и – однородные функции с равными показателями однородности.

Особенности дифференциальных уравнений первого порядка

При решении уравнений первого порядка функцию y и переменную x следует считать равноправными. То есть решение может быть в виде так и в виде .

Простейшие ду первого порядка

Общепринятый механизм нахождения решения таких выражений (чаще всего похожи на y’ = f(x)) – это интегрирование левой и правой части такого уравнения на заданном промежутке Х. 

После интегрирования получим такое выражение:

∫ y’dx = ∫ f(x)dx

Воспользовавшись свойствами, которые относятся к интегральным выражениям, упростим выражение до вида:

y = F(x) N

здесь, F(x) – это первообразная от функции f(x) на заданном интервале Х, а N – случайным образом выбранная константа.

Уравнения в полных дифференциалах

  при условии .Тогда .Подробнее

Уравнения риккати

.   Подробнее

Уравнения с разделяющимися переменными

;.   ПодробнееПриводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными:   Подробнее

Уравнения якоби

.Подробнее

Уравнения, не разрешенные относительно производной y′

Уравнения, допускающие разложение на множители:.ПодробнееУравнения, не содержащие x и y:.   ПодробнееУравнения, не содержащие x или y:, или .   Подробнее

Уравнения, разрешенные относительно зависимой переменной y

Уравнения Клеро:.   ПодробнееУравнения Лагранжа:.   ПодробнееУравнения, приводящиеся к уравнению Бернулли:;.   Подробнее

Уравнения, содержащие переменную и старшую производную

Общий случай:.   ПодробнееРазрешенные относительно старшей производной:.   ПодробнееРазрешенные относительно переменной:.   Подробнее

Уравнения, содержащие только производные порядков n и n-1

Общий случай:.   ПодробнееРазрешенные относительно младшей производной:.   ПодробнееРазрешенные относительно старшей производной:.   Подробнее

Уравнения, содержащие только производные порядков n и n-2

Общий случай:.   ПодробнееРазрешенные относительно старшей производной:.   Подробнее