Многочлен. Упрощение, степень, стандартный вид, нуль-многочлены

Как сократить дробь с многочленами

Рассмотрим другой пример алгебраической дроби. Требуется сократить алгебраическую дробь, у которой в числителе стоит многочлен.

Ни в коем случае нельзя сокращать часть многочлена внутри скобок!

Квадрат разности двух выражений

Возведем в квадрат разность

Итак, получили такую формулу квадрата разности:

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение этих выражений плюс квадрат второго выражения.

Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений еще называют квадратом двучлена.

Квадраты противоположных чисел равны:

Для тех, кто хочет знать больше

Чтобы возвести сумму или разность двух выражений в куб, можно использовать формулы куба суммы или куба разности:

Докажем эти формулы.

Формулируют формулу куба суммы так:

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения и второго плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго плюс куб второго выражения.

Формулу куба разности формулируют аналогично.

Примеры выполнения заданий:

Квадрат суммы двух выражений

Возведем в квадрат сумму

Итак,

Полученное тождество называют формулой квадрата суммы. Оно является формулой сокращенного умножения, поскольку позволяет возводить в квадрат сумму любых двух выражений не по правилу умножения двух многочленов, а сокращенно: сразу записывать квадрат в виде трехчлена

Формулируют формулу квадрата суммы так:

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение этих выражений плюс квадрат второго выражения.

Возведем в квадрат сумму

Коэффициенты многочленов

Зачастую многочлен состоит из множества частей, каждая из который имеет свой коэффициент. Они указываются перед переменными множителями. Если перед переменной нет числа, то коэффициент этого члена будет равен $1$. Рассмотрим на примере:

$$textcolor{orange}{2}x textcolor{orange}{5}x-textcolor{orange}{18}y$$

Выделенные числа и будут являться коэффициентами переменных множителей.

Можно сокращать

Другие примеры сокращения алгебраических дробей.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений выражений

Исходя из равенства

Нельзя сокращать

Неправильно

Нуль-многочлены

Число 0, а также многочлены, которые тождественно равны нулю, называют нуль-многочленами. Примеры таких выражений:

$$0a 0b$$

$$x-x$$

Их не относят к многочленам стандартного вида и считается, что нуль-многочлены не имеют степени.

{"questions":[{"content":"Рассортируй выражения в три группы[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Многочлены стандартного вида","Нуль-многочлены","Многочлены с подобными слагаемыми"],"items":[["$9xy 19$","$-x^{4}y 67z^{2}$","$mp^{5}x m^{3}nx^{2}$"],["$0m 0xy$","$0\cdot b-0 0a$","$0$"],["$-36x-4x 13$","$-mn^{3} 12 2$","$x^{6}a m^{2}-x^{6}a 0a$"]]}}}]}

Правила ввода выражений многочлена

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.

Например: ( x, y, z, a, b, c, o, p, q ) и т.д.

Числа можно вводить целые или дробные.Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x — 3,5p

Правила ввода обыкновенных дробей.В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: / Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: & Ввод: -2/3 — 7/5x Результат: ( -frac{2}{3} — frac{7}{5} cdot x )

Ввод: 3&1/3 — 5&6/5y Результат: ( 3frac{1}{3} — 5frac{6}{5} cdot y )

Знаки операций: — сложение,- — вычитание,* — умножение,^ — возведение в степень.

Знак деления должен использоваться только для ввода дробных чисел.Например: 3/4 или 1&2/3 и т.п.

В качестве показателя степени может выступать только положительное целое число!

Знак умножения нужно вводить только между числами, во всех остальных случаях его можно не вводить.

Несколько примеров ввода выражения многочлена.Ввод: 2.5x — 3,5p Результат: ( 2,5x — 3,5p )

Ввод: x^3-m^2a Результат: ( x^3-m^2a )

Ввод: x(-3)^2(p-1)(-2)^2my*2&2/3 Результат: ( x(-3)^2(p-1)(-2)^2my cdot 2frac{2}{3} )

Правильно

Определить, где заканчивается многочлен, очень просто. Между многочленами может быть только знак умножения.
Весь многочлен находится внутри скобок.

После того, как мы определили многочлены алгебраической дроби, сократим многочлен
«(m − n)» в числителе с многочленом «(m − n)»
в знаменателе.

Примеры сокращения алгебраических дробей с многочленами.

Применение нескольких способов для разложения многочленов на множители

Часто при разложении многочлена на множители нужно использовать несколько способов. Если это возможно, то разложение уместно начинать с вынесения общего множителя за скобки.

Рассмотрим несколько примеров:

1. Разложим на множители многочлен 2. Разложим на множители многочлен

Таким образом,

Примеры выполнения заданий:

Применение преобразований выражений

Нам уже встречались задачи, при решении которых нужно было преобразовывать то или иное выражение. Чаще всего мы использовали преобразования выражений при решении уравнений, доказательстве тождеств, нахождении значений выражении. Рассмотрим еще некоторые задачи, решение которых связано с преобразованием выражений.

Пример №1

Упростить многочлен:

$$ left( x-3 right) left( x 2 right) -3 left( x-1 right) ^2$$

Решение:

$$ left( x-3 right) left( x 2 right) -3 left( x-1 right) ^2= $$

Возведение в степень:

$$ left( x-3 right) left( x 2 right) -3 left( x^2-2 x 1 right) = $$

Раскрытие скобок:

$$x^2 x 2-3 x-6-3 x^2 6 x-3= $$

$$-2 x^2 5 x-9$$

Ответ:
( -2 x^2 5 x-9 )

Пример №135

Выполнить умножение:

Решение:

Пример №136

Вычислить

Решение:

Пример №137

Возвести в квадрат выражение:

Решение:

Пример №138

Разложить на множители:

Решение:

Пример №139

Вычислить

Решение:

Пример №140

Решить уравнение

Решение:

Ответ. 9; -3.

Пример №141

Разложить на множители трехчлен

Решение:

Пример №142

Найти значение выражения

Решение:

Запишем сначала трехчлен

Пример №143

Разложить на множители:

Решение:

Пример №144

Разложить на множители трехчлен:

Решение:

а) Если к выражению

Поэтому, выделив квадрат этого двучлена, получим:

Пример №145

Разложить на множители многочлен

Решение:

Пример №146

Решить уравнение

Решение:

Разложим левую часть уравнения на множители:

Получим уравнение

откуда:

Пример №147

Доказать, что многочлен

Решение:

Выделив из трехчлена

Пример №148

Найти наибольшее значение многочлена

Решение:

Преобразуем данный многочлен так:

Наибольшее значение многочлена равно 5.

Пример №149

Доказать, что значение выражения 8 при любом целом значении

Решение:

Упростим данное выражение:

При любом целом значении 8, поэтому и значение выражения 8.

Пример №150

С помощью микрокалькулятора найти значение многочлена

Решение:

Значение данного многочлена искать удобнее, если его предварительно преобразовать так:

Выполнив вычисления, найдем значение многочлена. Оно равно 109,264.

Интересно знать

Античные математики использовали формулы сокращенного умножения задолго до нашей эры. В те времена формулы представлялись не в привычном нам символическом виде, а формулировались словами.

Ученые Древней Греции алгебраические утверждения, формулы, выражающие определенные зависимости между величинами, трактовали геометрически. Так, произведение

Приведем пример алгебраического утверждения, которое было известно древнегреческим ученым и в геометрической терминологии формулировалось так: площадь квадрата, построенного на сумме двух отрезков, равна сумме площади квадратов, построенных на каждом из этих отрезков, плюс удвоенная площадь прямоугольника, построенного на этих отрезках.

Нетрудно догадаться, что речь идет о формуле квадрата суммы, которую мы символически записываем так:

Пример №2

Упростить многочлен:

$$ left( a-b right) ^3-b^2 left( 3 a-b right) $$

Решение:

$$ left( a-b right) ^3-b^2 left( 3 a-b right) = $$

Возведение в степень:

$$a^3-3 a^2 b 3 a b^2-b^3-b^2 left( 3 a-b right) = $$

Раскрытие скобок:

$$a^3-3 a^2 b 3 a b^2-b^3-3 b^2 a b^3= $$

$$a^3-3 a^2 b-b^3 b^3= $$

Приведение подобных:

$$a^3-3 a^2 b= $$

$$-3 a^2 b a^3$$

Ответ:
( -3 a^2 b a^3 )

Разложение многочленов на множители с использованием формул квадрата суммы и квадрата разности

Запишем формулы квадрата суммы и квадрата разности двух выражений (квадрата двучлена), поменяв в них левые и правые части:

Первая из этих формул дает разложение на множители трехчлена

Примеры выполнения заданий:

Разложение на множители разности квадратов двух выражений

В тождестве

Полученное тождество называют формулой разности квадратов двух выражений. Формулируют ее так:

Разность квадратов двух выражении равна произведению разности этих выражений и их суммы.

Формула разности квадратов позволяет разложить на множители двучлена

Сравните

Примеры выполнения заданий:

Разность и сумма кубов двух выражений

Разность квадратов двух выражений можно разложить на множители по формуле разности квадратов. При разложении на множители разности кубов двух выражений используют формулу разности кубов:

Докажем это тождество, перемножив выражения неполным квадратом суммы выражений

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.

При разложении на множители суммы кубов двух выражений используют формулу суммы кубов:

Докажем это тождество:

Трехчлен неполным квадратом разности выражений

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.

Примеры выполнения заданий:

Сокращение алгебраической дроби

Алгебраическую дробь можно сокращать. При сокращении
пользуются правилами
сокращения обыкновенных дробей.

Напоминаем, что при сокращении обыкновенной дроби мы делили и числитель, и знаменатель на одно и тоже число.

Алгебраическую дробь сокращают таким же образом, но только числитель и знаменатель делят
на один и тот же многочлен.

Рассмотрим пример сокращения алгебраической дроби.

Определим наименьшую степень, в которой стоит одночлен «a» .
Наименьшая степень для одночлена «a» находится в знаменателе — это вторая степень.

Разделим, и числитель, и знаменатель на «a2».
При делении одночленов используем
свойство степени частного.

Напоминаем, что любая буква или число в нулевой степени — это единица.

Нет необходимости каждый раз подробно записывать, на что сокращали алгебраическую дробь. Достаточно держать в уме
степень, на которую сокращали, и записывать только результат.

Краткая запись сокращения алгебраической дроби выглядит следующим образом.

Сокращение дробей с помощью формул сокращенного умножения

В других примерах для сокращения алгебраических дробей требуется
применение формул сокращенного умножения.

В первоначальном виде сократить алгебраическую дробь нельзя, так как нет одинаковых многочленов.

Но если применить формулу разности квадратов
для многочлена «(a2 − b2)», то одинаковые многочлены появятся.

Другие примеры сокращения алгебраических дробей с помощью формул сокращенного умножения.

Стандартный вид многочленов

Многочлен, состоящий из одночленов стандартного вида, расположенных в порядке убывания степеней и среди которых нет подобных, называют многочленом стандартного вида.

Одночлены в многочлене стандартного вида располагают в порядке убывания их степени, а свободный одночлен записывают в самом конце. Для примера можно привести следующие выражения:

$$xy^{2} x^{2}$$

$$2a^{2}b$$

Стоит отметить, что любой многочлен можно привести к стандартному виду, если привести подобные. То есть из выражения нестандартного вида:

$$5z-53 x^{5} 20-6z$$

Мы можем получить выражение стандартного вида:

$$x^{5}-z-33$$

{"questions":[{"content":"Переведи данный многочлен в стандартный вид:<br />$$8y 78-19x^{3} 70-y xy-140 19x^{3}$$[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["xy 7y 8"]}},"hints":["Приведи первые подобные слагаемые -  $8y$ и $-y$.","В примере остаются одночлены $7y$, $78$, $70$, $-140$, $xy$, $19x^{3}$ и $-19x^{3}$.","Приведи вторые подобные слагаемые - $78$, $70$ и $-140$.","В примере остаются одночлены $8$, $xy$, $7y$, $19x^{3}$ и $-19x^{3}$.","Приведи третьи подобные слагаемые - $19x^{3}$ и $-19x^{3}$.","Запиши ответ."]}]}

Степень многочлена

Рассмотрим многочлен стандартного вида:

$$2x^{3}y-x^{2}y^{2} 5x^{2}y y-2$$

Данное выражение составлено из одночленов: $2x^{3}y$, $-x^{2}y^{2}$, $5x^{2}y$, $y$ и $-2$. Их степени соответственно равны числам $4$, $4$, $3$, $1$, $0$. Наибольшая степень из этих степеней равна числу $4$, поэтому в таком случае говорят, что степень всего многочлена равна $4$.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней одночленов, из которых этот многочлен составлен.

Давайте рассмотрим еще несколько примеров многочленов с их степенями:

$color{blue}3x^{2}-xy 5y^{2}$ — степень равна двум

$color{blue} 3x^{4}y^{2}$ — степень равна шести

$color{blue} 3$ — степень равна нулю

Умножение разности двух выражений на их сумму

Умножим разность

Итак,

Полученное тождество позволяет умножать разность двух выражений на их сумму не по правилу умножения двух многочленов, а сокращенно: сразу записывать произведение в виде формулой сокращенного умножения. Формулируют се так:

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Умножим по этому правилу разность

Из переместительного свойства умножения следует, что произведение суммы двух выражений и их разности равно разности квадратов этих выражений:

Примеры выполнения заданий:

Упрощение выражений

Упрощение многочленов

Многочлены могут быть как небольшими, так и состоящими из нескольких частей. Давайте рассмотрим несколько примеров таких выражений:

$$7xy y-11$$

$$x^{4}-2x^{3} 5x^{2}-x 1$$

$$11x-2x$$

Многочлены состоят из одночленов, которые, в свою очередь, называются членами многочлена. Таким образом, в выражении $11x-2x$ всего 2 одночлена: $11x$ и $-2x$. Многочлены, которые состоят из 2 членов, называются двучленами, а состоящие из 3 — трехчленами.

{"questions":[{"content":"Какой свободный член в многочлене $34a - 11b \times 3   7$?[[choice-39]]","widgets":{"choice-39":{"type":"choice","options":["$7$","$3$","$34a$","$11b$"],"explanations":["Единственный одночлен без переменной.","$3$ является частью одночлена $11b \times 3$, а он содержит переменную $b$.","",""],"answer":[0]}}}]}

В выражениях может находиться несколько подобных членов, что позволяет упростить само выражение. В данном выражении мы можем увидеть подобные одночлены, которые закрашены одинаковыми цветами:

$$textcolor{coral}{7a^{2}b}textcolor{purple}{-3a}textcolor{blue}{ 4}textcolor{coral}{-a^{2}b}textcolor{blue}{-1}textcolor{purple}{ a} b$$

Для упрощения такого многочлена нам нужно использовать правило подобных слагаемых, т.е. произвести отдельные арифметические действия над каждой подобной частью. В конце у нас получится такое выражение:

$$textcolor{coral}{6a^{2}b}textcolor{purple}{-2a} btextcolor{blue}{ 3}$$

Такое упрощение называют приведением подобных членов многочлена. Это преобразование позволяет заменить многочлен на тождественно равный ему, но более простой — с меньшим количество членов.

{"questions":[{"content":"Упрости данный многочлен:<br />$$3ab^{3} 6b 5a-3ab^{3}-7b-19 b$$<br />[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["5a-19","5A-19","5а-19","5А-19","5а - 19","5А - 19","5a - 19","5A - 19","-19 5а","-19 5a"]}},"hints":["Приведи первые подобные слагаемые -  $3ab^{3}$ и $-3ab^{3}$.","Приведи вторые подобные слагаемые - $6b$, $b$ и $-7b$.","Запиши ответ."]}]}

Формулы сокращенного умножения