Функции: понятие функция и аргумент, функциональная зависимость | Алгебра

Три основных способа задания функций

1. Аналитический образом. Функция задана аналитически, если функциональная зависимость выражается в виде аналитического выражения (формулы). При этом указывается, для которых значений аргумента эта функция рассматривается.

Если множество областью допустимых значений.

Попытки аналитического способа задания функции можно найти в книге «Начала», где Евклид при построении конических сечений описывает «симптомы», то есть словесно формулирует уравнения кривых, определяя их классы соответствия. Однако первые применения алгебраических уравнений к определению функции мы находим лишь в XVII веке в трудах Ферма и Декарта.

Приведем несколько функций, заданных аналитически, указав область допустимых значений этих функций:

Аналитический способ задания предполагает существование аналитического выражения, связывает значения функции и аргумента, то есть имеем уравнение:

Если уравнение (11.12) не решено относительно функции, то функция задана неявно. Если уравнение (11.12) решить относительно функцию в явном виде: 2. Графический способ. Множество всех точек координатной плоскости графиком функции. Если заданной графически, если построено ее график. Такая ситуация может возникать при исследованиях, связанных с использованием самопишущих приборов, фиксирующих изменение определенных характеристик во времени. Тогда соответствие между независимой переменной

3. Табличный способ. Функция называется заданной таблично, если построена таблица, содержащая значение ее аргумента и соответствующие им значения функции. Такой подход к заданию функции практикуется во многих отраслях знаний, а именно: в экономике, социологии, технике и т.п., где зависимость между величинами устанавливается экспериментально или путем наблюдений.

Например, объем выпуска продукции

Табличный способ задания функции был исторически первым. Так, еще в IV веке до н.э., изучая цикличность движения планет, вавилонские астрономы построили таблицы, благодаря которым можно было определять даты месячных и солнечных затмений.

Среди рассмотренных способов задания функции основным является аналитический способ. От аналитического способа задания функции легко перейти к табличному и графическому, но не наоборот. Вообще, имея таблицу или график функции, сложно найти подходящую формулу (аналитическое выражение), разве что приближенно.

Разработанные в математическом анализе методы исследования функций лучше приспособлены к аналитическому способу задания функции, другие же используются как вспомогательные: графический — для наглядности, табличный — для удобства предоставления информации.

Основные элементарные функции, которые используются в экономических исследований

Функцию, что выражает зависимость между суммарными затратами на производство определенного товара и его стоимостью называется однофакторной производственной функцией

Функция, в которой роль независимой переменной исполняют затраты, а зависимая переменная обозначает объем выпуска, называется функцией выпуска 

В функции затрат, наоборот, независимая переменная  —  выпуск, а зависимая переменная — затраты. 

а) Пусть затраты 

Это линейная функция. С такими функциями мы имеем возможность при построении балансовой модели. 

б) С помощью однофакторной производственной функции можно описать зависимость объема производства от затрат некоторого специфического вида ресурса. 

В роли такого ресурса часто выступают трудовые ресурсы, основные производственные фонды, объем капиталовложений, разные виды сырья. При этом затраты всех ресурсов, что принимают участие в производстве, считают постоянными. 

так, с помощью функции вида: 

Решение примеров:

Пример 3.6 

Найти область определения функции 

Пример 3.7

Найти область определения функции 

Пример 3.8 

Найти область определения функции

Решение. Согласно с свойствами обратной тригонометрической и логарифмической функции получим: 

Следует, 

Функции: основные определения, способы задания

Исследование любого процесса или явления сводят в основном к изучению тех или иных числовых характеристик этого процесса и в дальнейшем к вычислению количественных соотношений между ними. Для создания общих теорий, применяются к изучению числовых характеристик различной природы, в математике абстрагируются от конкретного содержания этой числовой характеристики и все величины делятся на переменные и постоянные.

Переменной величиной, или просто переменной, называется величина, которая в соответствии с условиями может принимать различные числовые значения. Та же величина, которая приобретает только одного значения при исследовании определенного процесса, называется постоянной. В основном величины обозначаются буквами латинского алфавита (с индексами или без них). Как правило, значения постоянных величин считаются известными в данном исследовании, и они обозначаются начальными буквами латинского алфавита (

При исследовании различных процессов в зависимости от задачи, рассматриваемой одна и та же величина может играть роль как переменной, так и постоянной.

Так, удельная прибыль предприятия от реализации единицы продукции можно считать постоянной величиной при исследовании влияния объема производства на общую прибыль от реализации. Та же величина может рассматриваться как переменная при исследовании влияния производительности труда или технологических показателей на общую прибыль.

Абсолютными, или универсальными, постоянными называются такие величины, которые не изменяются при любых условиях. Например, отношение длины окружности к ее диаметру является абсолютной константой и составляет Параметром в определенном исследовании называют величину, которая характеризует однотипные объекты (процессы, состояния) в том смысле, что каждое ее значение характеризует некоторый конкретный объект. Например, уравнение прямой

Областью изменения переменной величины называется множество всех числовых значений, которые она может принимать. Переменная считается заданной, если указано область ее изменения.

Опыт установления количественных соотношений при исследовании реальных процессов и явлений показывает, что числовые характеристики того или иного процесса в основном изменяются не независимо друг от друга, а так, что изменение значений одних из них является причиной изменения значений других.

Изучение количественных соотношений между величинами, меняются во взаимосвязи, абстрагируясь от их конкретного содержания, как раз и является предметом математического анализа. Функция и функциональная зависимость являются основными понятиями математического анализа.

Если каждому элементу функцией. Кратко это записывают так:функциональная зависимость. Переменная аргументом, или независимой переменной, а зависимой переменной, то есть функцией от переменной функцией от одной переменной .Если множество функцией нескольких переменных и записывают областью существования функции, или областью определения функции, и обозначают через областью значений функции и обозначают через многозначной.Значение функции постоянной:

Закон соответствия между значениями аргумента и функции можно подавать различными способами.

Основные теоремы про границы последовательности

Для того, чтобы последовательность 

Решение примеров:

Пример 3.44

Придавая 

Пример 3.45

Доказать, что последовательность 

 Пример 3.46 

Доказать, что последовательность с общим членом 

Преобразуем выражение

Получим 

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Функция f(х) называется бесконечно малой бесконечно большой 

Рассмотрим свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.

1. Если функции f(х) и 

Следствие: Произведение конечного числа бесконечно малых функций является величиной бесконечно малой.

3. Если при Пример 9. Вычислить предел: Решение: Предел делителя равен нулю: 

Следовательно, находить предел по свойству частного нельзя.

Поскольку, Ответ: Предел функции при Определение 1. Пусть функция f(х) определена на всей числовой оси. Число В₁ называется пределом функции f(х) при ₁ является пределом функции f(х) в плюс бесконечности, если для произвольной ₁ можно подобрать такое число₁ (рис. 7б).Определение 2. Пусть функция f(х) определена на всей числовой оси. Число В₂ называется пределом функции f(х) при ₂ является пределом функции f(х) в минус бесконечности, если для произвольной ₂ можно подобрать такое число₁ (рис. 7а).Если существует предел Пример 10. Доказать, что 

Доказательство:

Пусть задано произвольное 

Следовательно

Пример 11. Вычислить предел 

Решение: Разделим числитель и знаменатель на наивысшую степень аргумента в знаменатели, то есть на х3:

Поскольку знаменатель является величиной ограниченной, то Ответ: 

Пример 12. Вычислить предел.

Решение: Разделим числитель и знаменатель на х3, тогда 

Ответ: Пример 13. Вычислить предел Решение: При Ответ: 

Граница последовательности

Определение. Число границей последовательности    если для каждого как угодно малого положительного числа границей последовательности  если в любой неограниченной. 

Последовательность, что имеет границу называется сходящейся, а которая не имеет границы, называется расходящейся. 

Свойства сходящихся последовательной

1. Граница постоянно равна этой постоянной. 

2. Если последовательность 

3. Последовательность, которая имеет границу, является ограниченной.

4. Пусть 

6. Про «охваченную» последовательность или теорема «про двух милиционеров» 

пусть выполняется неравенство 

7. Любая монотонная ограниченная последовательность имеет границу (теорема Больцано — Вейэрштрасса). 

Классификация функций и их определение

а) Ограниченные функции

Определение 2. Функция y = f (x), определенная на множестве D, называется ограниченной сверху (снизу), если существует число М, такое, что для всех x ∈ D выполняется неравенство f (x) ≤ M  (f (x) ≥ M).

Если функция y = f (x) ограничена на множестве D и сверху, и снизу, то она называется ограниченной на всем множестве D.

Например, функция y = sin x ограничена на всей числовой оси, ≤ 1 для x ∈

б) Монотонные функции

Определение 3. Функция y = f (x), определенная на множестве D, называется а) растущей; б) убывающей; в) невозрастающая; г) неубывающей на этом множестве, если для любых х₁ и x₂, которые принадлежат множеству D и при имеют место соответствующие неравенства а) б) ; в) ; г)  

Функции, которые удовлетворяют данному определению, называют монотонными.

в) Четные и нечетные функции

Определение 4. Функция y = f (x) называется четной, если для любых x ∈ D = выполняется условие f (–x) = f (x) и нечетной, если f (–x) = –f (x).

Например, y = x2— четная функция, y = x3 — нечетная функция. Заметим, что график четной функции симметричен относительно оси Оу, а график нечетной функции — симметричен относительно начала координат.

г) Периодические функции

Определение 5. Функция y = f (x), определенная на всей числовой оси, называется периодической, если существует такое число T ≠ 0, называемое периодом, что имеет место неравенство f (x T) = f (x) для всех x∈ Например, y = cos x является периодической с периодом

д) Сложные функции

Определение 6. Пусть функция y = f (u) определена на множестве U, а функция определена на множестве D, и все ее значения u ∈ U. Тогда переменная y через промежуточную переменную u является функцией x: В этом случае y является сложной функцией или функцией от функции.

Например, y = u2, u = cos x. Тогда y = cos2 x   является сложной функцией x.

е) Обратные функции

Пусть функция y = f (x) задана на множестве D, а множество значений (область изменения функции) является Е. Если каждому значению y ∈  Е соответствует одно значение x ∈  D, для которого y = f (x), то на множестве Е можно определить функцию x = f -1 (y) так, что каждому значению y ∈ Е будет соответствовать одно значение x ∈ D, для которого f (x) = y.

Функция x = f -1 (y) называется обратной относительно функции y = f (x), которая удовлетворяет для всех y ∈ Е условию x = f (f-1 (y)).

Пример. Пусть задана функция y = x², x ∈  [0, ∞) = D,  y ∈  f ^-1 (y) =   y ∈  Е =

ж) Неявная функция одной переменной

Если функция задана не уравнением вида y = f (x), а уравнением вида F (x, y) = 0, то если на некотором множестве уравнение F (x, y) = 0 имеет единственное решение y = y (x), тогда равенство F (x, y) = 0 называют неявным заданием функции.

Например, y = x2, y = cos x — явные функции, а уравнение x 5y – 1 = 0 определяет неявную функцию y от x.

з) Элементарные функции

Степенная функция y = a^x, логарифмическая y = log_a x, тригонометрические y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x, обратные тригонометрические y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x и постоянная y = C называются основными элементарными функциями.

Определение 7. Основные элементарные функции, а также функции, найденные с помощью формул, содержащих лишь конечное число арифметических действий ( , -, × , : ) и суперпозиций основных элементарных функций, называются элементарными функциями.

Например, 

Элементарные функции делятся на следующие классы

1) Целые рациональные функции

Целые рациональные функции — это функции вида
≠ 0, то число n называют степенью многочлена.

2) Рациональные функции

Рациональные функции — это функции вида

m ≠ 0,  ≠ 0, то рациональная функция называется дробно-рациональной.

3) Иррациональные функции

Иррациональные функции — это функции, которые заданы с помощью суперпозиций рациональных функций, степенных функций с рациональными показателями и четырех арифметических действий, применяемых конечное число раз. Например,

4) Алгебраические функции

Функция y от x (y = y (x)) называется алгебраической, если она удовлетворяет уравнению
x.Всякая рациональная функция является алгебраической, поскольку

5) Трансцендентные функции

Элементарные функции, которые не являются алгебраическими, называются трансцендентными элементарными функциями. Можно показать, что тригонометрические, обратно тригонометрические, показательная и логарифмическая функции являются трансцендентными элементарными функциями.

6) Некоторые неэлементарные функции

1.

2. y = [x] — целая часть числа

3. y = {x} — дробная часть числа

4. 

Непрерывность функции

Функция  

1) она обозначена в этой точки; 

2) существует прерывной в точке непрерывной в точке  справа иди слева, если Функция разрывной в этой точке. Точка точкой разрыва второго рода функции Скачком функции в точке разрыва 

При нахождении точек разрыва функции можно описаться следующими положениями: 

1) элементарная функция может иметь разрыв только в отдельных точках, но не может быть разрывной во всех точках какого нибудь интервала;

2) элементарная функция может иметь разрыв только в той точке, где она не определена, при условии, если она будет определена хотя бы с одной стороны от этой точки в любых близких к ней точках;

3) не элементарная функция может иметь разрывы как в точках, где она неопределенная, так и в таких, где она определена, кроме, если функция задана несколькими разными аналитическими выражениями для разных интервалов изменения аргумента, то она может иметь разрывы в точках, где изменяется ее аналитическое выражение.

Решение примеров:

 Пример 3.119

Найти точки разрыва функции 

Пример 3.120 

Найти точку разрыва функции 

Исследуем эту точку разрыва 

Следует, односторонние границы функции в точке 

Ее график изображен на рис. 3.35

Пример 3.121 

Для заданной функции 

найти точку разрыва и скачок функции в точках разрыва, построить график. 

Решение. Не элементарная функция  

Смотреть рис. 3.36. 

Обратная функция

Рассмотрим понятие обратной функции. Пусть функция обратной к функции взаимно обратными. Взаимно обратные функции можно получить, если решить уравнение Теорема 11.1. Если функция Доказательство. Действительно, пусть функция

Для нисходящей функции теорема доказывается аналогично.

Поскольку более привычным считается обозначения аргумента через

Рис. 11.9

Первая и вторая определенные границы

Первая определенная граница: 

Следствия: 

Вторая определенная граница: 

Следствия: 

Число е — иррациональное: натуральным логарифмом и обозначается 

Решение примеров:

Граница функции не зависит от того, определена ли функция в граничной точке, или нет. Но это условие имеет существенное значение при нахождении границ функции: 

получится при 

 Пример 3.50

Найти  

Решение. По теореме про границы получим: 

 Пример 3.51 

Найти 

Решение 

Пример 3.52

Найти 

Пример 3.53 

Найти 

Пример 3.54

Найти 

Решение 

Пример 3.55 

Найти границу 

Пример 3.56 

Найти 

Тут нет сокращения к нулю, что недопустимо. 

Согласно определению функции аргумент 

Пример 3.57 

Найти границу 

Пример 3.58

Найти  границу 

Решение 

Пример 3.59 

Найти границу 

Пример 3.60  

Найти границу 

Пример 3.61  

Найти 

Пример 3.62  

Найти 

Пример 3.63  

Найти 

Пример 3.64  

Найти  

Решение

Пример 3.65  

Найти 

Пример 3.66  

Найти 

Решение. Преобразуем формулу 

Пример 3.67  

Найти 

Пример 3.68  

Найти 

Пример 3.69  

Найти 

Решение 

Пример 3.70  Найти 

Решение 

Понятие границы функции

Границей функции  при  что направляется к двусторонней границей, а границы слева и справа — односторонними границами. 

Связь между односторонними и двусторонними границами. 

Функция 

Построение графиков функции

Для построения графика функции 

Эти значения записывают в таблицу 

После этого берем прямоугольную систему координат, получим масштабную единицу и строим точки: 

Полученные точки объединяем плавной линией. Эта функция дает эскиз графической функции. 

Покажем приемы, что облегчают построение графика функции в ряде случаев:

а) Если функция четная, то ее график размещенный симметрично относительно оси 

 Решение примеров:

Пример 3.27 

Построить график функции 

Решение. Заданную функцию не можно отнести ни к четным, ни к нечетным: 

Пример 3.28 

Воспользовавшись графиком функции 

Пример 3.29. 

Построить график дробно-линейной функции 

получим 

обозначим теперь 

Пример 3.30 

Построить график дробно — линейной функции 

а это уравнение равносторонней гиперболы относительно ее асимптот (рис. 3.26). 

Пример 3.31 

Построить график функции 

Построим полученные функции и объединяем их плавной кривой (рис. 3.27). 

Пример 3.32 

Построить график функции 

Построим на плоскости эти точки, объединяем их плавной кривой и получим приближенный график заданной функции (рис. 3.28).

1) График функции 

Пример 3.33

Построить график функции  

Решение. График функции складывается из всех точек прямой 

Пример 3.34  

Построить график функции, определенной уравнением: 

Решение. Графиком функции 

В изображенном виде график заданной функции предоставлен на рис. 3.30. 

Пример 3.35 

Построить график функции 

Решение. Обратим внимание: 

Сложим таблицу значений функции 

Потом построим точки и соединим их сплошной линией, получим искомый график (рис. 3.31) 

Предел функции в точках

Выше перечислены свойства функции установлено по всей области её определения. Рассмотрим поведение функции в отдельно взятой точки.

Например, исследуем, поведение функции 

Видим, что чем ближе х приближается к числу 2, тем ближе у1 подходит к числу 4, а у2 — к числу 2.

Рассмотрим поведение функции 

Как видно из таблицы функция в точке 3 не определена, хотя при приближении как угодно близко к числу 3 функция как угодно близко подходит к 3. 

Рассмотрим поведение функции 

Видим, что при х→2 нет числа к которому приближалась бы функция.

Следовательно, если при неограниченном приближении аргумента к числу пределом функции в точке пределом функции f(х) при х→

Как видно из приведённых выше примеров предел функции в точке существует не всегда.

Пример 3. Доказать, что  Доказательство: Считаем, что задано любое 

Пусть неравенство выполняется. Тогда

Теперь покажем, что для любого 

Запишем основные свойства пределов.

1. Функция имеет единственный предел в данной точке.

Доказательство: Доказательство проведём методом от противного. Пусть в точке 

2. Предел константы равен самой константе:

3. Предел суммы (разности) функции равен сумме (разности) этих функций:

4. Предел произведения функции равен произведению пределов этих функций:

Последствия:

а) Устойчивый множитель можно выносить за знак предела:

b) Если n — натуральное число, то

5. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций, если только предел делителя не равен нулю:

Отметим, непосредственное использование свойств при нахождении предела функции может привести к выражениям типа 

Функция и её определение

Изучая разные явления мы имеем дело с величинами, например: силой, скоростью, ростом волос, износом шин и т.д. Совокупность значений каждой величины образуют множество её значений. Большинство величин связаны между собой.

Если каждому значению х с множества значений Х можно поставить в соответствие одно и только одно значение в другом множестве Y, то такое соответствие называется функцией.

Множество значений областью определения функции и обозначают D, а сами значения аргументами функции.

Совокупность всех значений функции называют множеством значений функции и обозначают E.

Например, если аргументом является 

В общем случае запись будет иметь вид у = f(х).

Функцию можно задать следующими способами:

— словесно (каждому ученику поставить в соответствие дату его рождения);

— таблично (расписание движения поездов, температурный календарь);

— аналитически 

Если областью определения функции является множество натуральных чисел N, то функцию называют последовательностью.

Напомним основные свойства функции:

1. Функция называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции (рис. 1)

2. Функция называется убывающей, если меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (рис. 2)

3.Функция называется монотонной, если она только возрастающая либо только убывающая в своей области определения.

4. Функция называется чётной, если смена знака аргумента не вызывает смены знака функции.

График чётной функции симметричен относительно оси Оу (рис. 3).

5. Функция называется нечётной, если замена знака аргумента вызывает только смену знака функции.

График нечётной функции симметричен относительно начала координат (рис. 4)

6. Функция называется ограниченной сверху, если для неё существует такое число М, что выполняется условие

7. Функция называется ограниченной снизу, если для неё существует такое число m, что выполняется условие 

8. Функция называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу

9. Функция называется периодической, если существует такое число 

Графики взаимообратные функции симметрично относительно биссектрисы первой и третьей четвертей системы координат (прямая у = х).

Пример 1. Найти область определения функции Решение: Функция определена для всех значений аргумента х, кроме тех, при которых знаменатель преобразуется в ноль. Решив уравнение Ответ: Пример 2. Исследуйте функцию Решение: Исследуем, поведение функции при значении аргумента — х: