§ Формулы сокращённого умножения. Разность квадратов. Квадрат суммы. Куб суммы. Разность кубов и другие формулы

Что значит упростить алгебраическое выражение

Обязательным условием для алгебраического выражения является конечное число величин, которые его составляют. Данный принцип пригодиться математикам для решения задач в средних классах школы.

Бином ньютона

Формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных. Записывается вот так:
Пример вычисления биномиальных коэффициентов, которые стоят в строке под номером n в треугольнике Паскаля:
Пример вычисления биномиальных коэффициентов, которые стоят в строке под номером n в треугольнике Паскаля:

ФСУ для квадрата и куба суммы и разности — являются частными случаями формулы бинома Ньютона при n = 2 и n = 3.

Доказательство формул сокращенного умножения

Напомним, что разность квадратов двух чисел a и b равна произведению их разности и их суммы: a2 — b2 = (a — b) * (a b).

Иначе говоря, произведение суммы a и b на их разность равна разности их квадратов: (a — b) * (a b) = a2 — b2.

Важно знать, что разность квадратов не равна квадрату разности: a2 — b2 ≠ (a — b)2.

Докажем, что a2 — b2 = (a — b) * (a b).

Поехали:

1. Используя искусственный метод, прибавим и отнимем одно и тоже a * b.

   a * b — a * b = 0

   a² — b² = a² — b² ab — ab

2. Сгруппируем иначе: a² — b² a * b — a * b = a² — a * b a * b — b²
3. Продолжим группировать: a² — a * b — b² a * b = (a² — a * b) (a * b — b²)
4. Вынесем общие множители за скобки:

   (a² — a * b) (a * b — b²) = a *(a — b) b *(a — b)

5. Вынесем за скобки (a — b). a * (a — b) b * (a — b) = (a — b) * (a b)
6. Результат доказательства: a² — b² = (a — b) * (a b)
7. Для того, чтобы доказать в обратную сторону: (a — b) * (a b) = a² — b², нужно раскрыть скобки: (a — b) * (a b) = a * a a * b — b * a — b * b = a² — b².

Остальные ФСУ можно доказать аналогичным методом.

Дополнительные формулы сокращенного умножения

К таблице основных ФСУ следует добавить еще несколько важных тождеств, которые пригодятся для решения задач.

Задание 1

Что сделать: вычислить квадрат произведения (55 10)2.

Как решаем: воспользуемся формулой квадрата суммы: (55 10)2 = 552 2 * 55 * 10 102 = 3025 1100 100 = 4225.

Задание 2

Что сделать: упростить выражение 64 * с3 – 8.

Как решаем: применим разность кубов: 64 * с3 – 8 = (4 * с)3 – 23 = (4 * с – 2)((4 * с)2 4 * с * 2 22) = (4 * с – 2)(16 * с2 8 * с 4).

Задание 3

Что сделать: раскрыть скобки (7 * y — x) * (7 * y x).

Как решаем:

1. Произведем умножение: (7 * y — x) * (7 * y x) = 7 * y * 7 * y 7 * y * x — x * 7 * y — x * x = 49 * y² 7 * y * x — 7 * y * x — x² = 49 * y² — x².
2. Используем формулу сокращенного умножения: (7 * y — x) * (7 * y x) = (7 * y)² — x² = 49 * y² — x².

Многочленов бояться не стоит, просто совершайте последовательно каждое действие. С формулами решать задачки быстрее и удобнее — сохраняйте шпаргалку, запоминайте и радуйте своих учителей 🙂

Как запомнить куб суммы

Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.

Квадрат разности

Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:

(a − b)² = (b − a)²

Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:

(a − b)² =
a² −2ab b² = b² − 2ab a² = (b − a)²

Квадрат разности двух выражений

Формула квадрата разности двух выражений выглядит следующим образом:

(a − b)2 = a2 − 2ab   b2

Эту формулу можно прочитать так:

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Формула квадрата разности двух выражений выводится таким же образом, как и формула квадрата суммы двух выражений. Выражение (a − b)2 представляет собой произведение двух многочленов, каждый из которых равен (a − b)

(a − b)2 = (a − b)(a − b)

Если выполнить это умножение, то получится многочлен a2 − 2ab   b2

(a − b)2 = (a − b)(a − b) = a2 − ab − ab   b2 = a2 − 2ab   b2

Пример 1. Преобразовать выражение (7x − 5)2 в многочлен.

Воспользуемся формулой квадрата разности двух выражений:

(a − b)2 = a2 − 2ab   b2

(7x − 5)2 = (7x)2 − 2 × 7x × 5 52 = 49×2 − 70x 25

Значит, (7x − 5)2 = 49×2 − 70x 25.

Попробуем решить данный пример, не пользуясь формулой квадрата разности. У нас должен получиться тот же результат:

(7x − 5)2 = (7x − 5)(7x − 5) = 49×2 − 35x − 35x 25 = 49×2 − 70x  25.

Формула квадрата разности двух выражений тоже имеет геометрический смысл. Если площадь квадрата со стороной a равна a2, то площадь квадрата, сторона которого уменьшена на b, будет равна (a − b)2

Рассмотрим следующий рисунок:

Представим, что сторону квадрата, изображённого на данном рисунке уменьшили на b. У квадрата все стороны равны. Если одну сторону уменьшить на b, то остальные стороны тоже уменьшатся на b

Получился новый квадрат, который меньше предыдущего. На рисунке он выделен жёлтым. Сторона его равна a − b, поскольку старая сторона a уменьшилась на b. Чтобы вычислить площадь этого квадрата, можно из первоначальной площади квадрата a2 вычесть площади прямоугольников, которые получились в процессе уменьшения сторон старого квадрата. Покажем эти прямоугольники:

Тогда можно написать следующее выражение: старая площадь a2 минус площадь ab минус площадь (a − b)b

a2 − ab − (a − b)b

Раскроем скобки в выражении (a − b)b

a2 − ab − ab b2

Приведем подобные слагаемые:

a2 − 2ab b2

В результате получается выражение a2 − 2ab b2, которое является правой частью формулы квадрата разности двух выражений:

(a − b)2 = a2 − 2ab   b2

Формулы квадрата суммы и квадрата разности в общем называют формулами сокращённого умножения. Эти формулы позволяют значительно упростить и ускорить процесс перемножения многочленов.

Ранее мы говорили, что рассматривая член многочлена по отдельности, его нужно рассматривать вместе со знаком, который перед ним располагается.

Но применяя формулы сокращённого умножения, знак исходного многочлена не следует рассматривать в качестве знака самого этого члена.

Например, если дано выражение (5x − 2y)2, и мы хотим воспользоваться формулой (a − b)2 = a2 − 2ab   b2, то вместо b нужно подставлять 2y, а не −2y. Это особенность работы с формулами, которую не следует забывать.

(5x − 2y)2a = 5xb = 2y(5x − 2y)2 = (5x)2 − 2 × 5x × 2y  (2y)2 = 25×2 − 20xy  4y2

Если подставлять −2y, то это будет означать, что разность в скобках исходного выражения была заменена на сумму:

(5x − 2y)2 = (5x (−2y))2

и в таком случае нужно применять не формулу квадрата разности, а формулу квадрата суммы:

(5x (−2y)2a = 5xb = −2y(5x  (−2y))2 = (5x)2 2 × 5x × (−2y)  (−2y)2 = 25×2 − 20xy  4y2

Исключением могут быть выражения вида (x − (−y))2. В данном случае, применяя формулу (a − b)2 = a2 − 2ab   b2 вместо b следует подставить (−y)

(x − (−y))2 = x2 − 2 × x × (−y)  (−y)2 = x2   2xy  y2

Но возводя в квадрат выражения вида x − (−y), удобнее будет заменять вычитание на сложение x   y. Тогда первоначальное выражение примет вид (x   y)2 и можно будет воспользоваться формулой квадрата суммы, а не разности:

(x   y)2 = x2   2xy  y2

Квадрат суммы двух выражений

Существует ряд случаев, когда умножение многочлена на многочлен можно значительно упростить. Таковым к примеру является случай (2x   3y)2.

Выражение (2x   3y)2 это перемножение двух многочленов, каждый из которых равен (2x   3y)

(2x  3y)2 = (2x  3y)(2x  3y)

Получили умножение многочлена на многочлен. Выполним его:

(2x  3y)2 = (2x  3y)(2x  3y) = 4×2   6xy  6xy  9y2 = 4×2   12xy   9y2

То есть выражение (2x   3y)2 равно 4×2   12xy  9y2

(2x  3y)2 = 4×2   12xy  9y2

Решим аналогичный пример, который попроще:

(a   b)2

Выражение (a   b)2 это перемножение двух многочленов, каждый из которых равен (a   b)

(a   b)2 = (a   b)(a   b)

Выполним это умножение:

(a   b)2 = (a   b)(a   b) = a2   ab   ab   b2 = a2   2ab   b2

То есть выражение (a   b)2 равно a2   2ab   b2

(a   b)2 = a2   2ab   b2

Оказывается, что случай (a   b)2 можно распространить для любых a и b. Первый пример, который мы решили, а именно (2x  3y)2 можно решить с помощью тождества (a   b)

2 = a2   2ab   b2. Для этого нужно подставить вместо переменных a и b соответствующие члены из выражение (2x  3y)

a = 2x

b = 3y

И далее можно воспользоваться тождеством (a   b)2 = a2   2ab   b2, но вместо переменных a и b нужно подставлять выражения 2x и 3y соответственно:

(2x  3y)2 = (2x)2  2 × 2x × 3y (3y)2 = 4×2   12xy  9y2

Как и в прошлый раз получили многочлен 4×2   12xy  9y2. Решение обычно записывают покороче, выполняя в уме все элементарные преобразования:

(2x  3y)2 = 4×2   12xy  9y2

Тождество (a   b)2 = a2   2ab   b2 называют формулой квадрата суммы двух выражений. Эту формулу можно прочитать так:

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Рассмотрим выражение (2   3)2. Его можно вычислить двумя способами: выполнить сложение в скобках и возвести полученный результат в квадрат, либо воспользоваться формулой квадрата суммы двух выражений.

Первый способ:

(2   3)2 = 52 = 25

Второй способ:

(2   3)2 = 22 2 × 2 × 3  32 = 4 12 9 = 25

Куб разности

Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков « » и
«−».
Перед первым членом «a3»
стоит « » (по правилам математики мы его не пишем).

(a − b)³ =
a³−
3a²b
3ab²−
b³
=
a³ − 3a²b 3ab² − b³

Куб суммы и куб разности

Формулы куба суммы двух выражений и куба разности двух выражений выглядят следующим образом:

(a   b)3 = a3   3a2b   3ab2   b3

(a − b)3 = a3 − 3a2b   3ab2 − b3

Формулу куба суммы двух выражений можно прочитать так:

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения. 

А формулу куба разности двух выражений можно прочитать так:

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения. 

При решении задач желательно знать эти формулы наизусть. Если не запомнили — не беда! Их можно выводить самостоятельно. Мы это уже умеем.

Выведем формулу куба суммы самостоятельно:

(a   b)3

Выражение (a   b)3 представляет собой произведение из трёх многочленов, каждый из которых равен (a   b)

(a   b)3 = (a   b)(a   b)(a   b)

Но выражение (a   b)3 также может быть записано как (a   b)(a   b)2

(a   b)3 = (a   b)(a   b)2

При этом сомножитель (a   b)2 является квадратом суммы двух выражений. Этот квадрат суммы равен выражению a2   2ab   b2.

Тогда (a   b)3 можно записать как (a   b)(a2   2ab   b2).

(a   b)3 = (a   b)(a2   2ab   b2)

А это есть умножение многочлена на многочлен. Выполним его:

(a   b)3 = (a   b)(a2   2ab   b2) = a3  2a2b  ab2  a2b  2ab2  b3 = a3   3a2b   3ab2   b3

Аналогично можно вывести формулу куба разности двух выражений:

(a − b)3 = (a − b)(a2 − 2ab   b2) = a3 − 2a2b ab2 − a2b  2ab2 − b3 = a3 − 3a2b   3ab2 − b3

Не путать с кубом разности!

Будьте внимательны при записи знаков.

Не путать с кубом суммы!

Сумма кубов — это произведение двух скобок.

Пояснение на примерах

Рассмотрим решения нескольких контрольных примеров по упрощению дробей. В качестве подготовки можно попробовать решить предлагаемые примеры самостоятельно.

Пояснения на примерах

Правила упрощения алгебраических выражений

Существуют основные методы в алгебре для того, чтобы упростить алгебраическое выражение:

• приведение подобных;
• разложение на множители;
• сокращение дроби;
• сложение и вычитание дробей;
• умножение и деление дробей.

В процессе приведения выражения в более простую форму следует использовать полезные советы:

1. При наличии подобных их рекомендуется привести, при этом не имеет значения то, в какой момент они образовались.
2. При появлении первой возможности для сокращения дробей, рекомендуется ей сразу воспользоваться. Исключением являются дроби с одинаковыми знаменателями, которые требуется вычитать или суммировать. Такие дроби можно сократить после выполнения необходимых действий.

Предостережение!

(a b)²не
равно (a² b²)

Приведение подобных

К примеру, приведем слагаемые:

2a 3b-a 8b 7a=8a 11b

Заметим, что числа в таких слагаемых умножают на буквы. Данные числа носят названия коэффициентов.

Применение формул сокращенного умножения

Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.

Многие примеры в учебниках рассчитаны на то, что вы с помощью формул соберёте многочлен обратно.

Примеры:

Разложение на множители

Решение задач

Давайте потренируемся и рассмотрим примеры с дробями.

Сложение и вычитание дробей

Заметим, что знаменатели являются взаимно простыми, то есть не имеют общих множителей. Таким образом, наименьший общий множитель данных чисел соответствует их произведению. В результате:

2·4-1·33·4=512

Вычислим:

38 26-52

В данном случае общим множителем является число 24. Выполним преобразования и упростим выражение:

3·3 2·4-5·1224=-4324

Упростим выражение:

347-123

В данном примере следует смешанные дроби записать в виде неправильных. Далее можно упростить выражение по стандартному алгоритму:

347-123=25·37-5·73=75-3521=4021

Разберем самостоятельный случай, когда знаменатели не содержат буквы. При этом алгоритм действий такой же, как и при действиях с обыкновенными дробями:

• определить общий множитель;
• умножить каждую дробь на недостающий множитель;
• сложить или вычесть числители.

Упростим выражение:

a2b4 a6

Здесь общий множитель равен 12. Тогда:

a2b·34 a·26=3a2b 2a12

Далее можно привести подобные в числители, и разложить на множители при их наличии:

a2b4 a6=3a2b 2a12=a3ab 212

Когда знаменатели содержат буквы, схема действий существенно не меняется:

• разложение знаменателей на множители;
• определение одинаковых множителей;
• выделение всех общих множителей по одному разу;
• умножение общих множителей на оставшиеся множители, которые не являются общими.

Сокращение алгебраических дробей с помощью формул сокращенного умножения

На практике часто встречаются дроби, в числителе и знаменателе которых имеются выражения в различной степени, например, квадратные, кубические.

Для таких выражений используют формулы сокращенного умножения.

Приведем упомянутые тождества:

Сокращение дроби

Объяснение алгоритм действий при сокращении дробей:

• разложение на множители числителя и знаменателя;
• при наличии в числителе и знаменателе общих множителей их допустимо исключить из выражения.

Озвученное правило является следствием ключевого свойства дроби. Оно состоит в допустимости умножения или деления числителя и знаменателя дроби на одно и то же число, которое не равно нулю. В результате значение дроби останется без изменений.

Существует простой способ, руководствуясь которым можно определить, разложено ли выражение на множители. Арифметическое действие, выполняемое в последнюю очередь при вычислении значения выражения, считается «главным».

Умножение и деление дробей

Во многих примерах имеются не только цифры, но и буквы. В этом случае выполняются алгебраические действия, в том числе, приведение подобных, сложение, сокращение дробей и другие операции. Отличия можно заметить при разложении многочленов на множители. Для этого следует пользоваться формулами сокращенного умножения или вынесением единого множителя за скобки.

Ключевой задачей при работе с такими выражениями является запись выражений в виде произведения или частного.

Умножение разности двух выражений на их сумму

Встречаются задачи, в которых требуется умножить разность двух выражений на их сумму. Например:

(a − b)(a   b)

В этом выражении разность двух выражений a и b умножена на сумму этих же двух выражений. Выполним данное умножение:

(a − b)(a  b) = a2   ab − ab − b2 = a2 − b2

То есть выражение (a − b)(a   b) равно a2 − b2

(a − b)(a  b) = a2 − b2

Видим, что при умножении разности двух выражений на их сумму, получается разность квадратов этих выражений.

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Случай (a − b)(a   b) можно распространить для любых a и b. Проще говоря, если при решении задачи потребуется умножить разность двух выражений на их сумму, то это умножение можно заменить на разность квадратов этих выражений.

Пример 1. Выполнить умножение (2x − 5)(2x   5)

В этом примере разность выражений 2x и 5 умножена на сумму этих же выражений. Тогда согласно формуле (a − b)(a  b) = a2 − b2 имеем:

(2x − 5)(2x   5) = (2x)2 − 52

Вычислим правую часть, получим 4×2 − 25

(2x − 5)(2x   5) = (2x)2 − 52 = 4×2 − 25

Попробуем решить данный пример, не пользуясь формулой (a − b)(a   b) = a2 − b2. У нас получится тот же результат 4×2 − 25

(2x − 5)(2x   5) = 4×2 − 10x   10x − 25 = 4×2 − 25

Умножение разности двух выражений на неполный квадрат их суммы

Встречаются задачи, в которых требуется умножить разность двух выражений на неполный квадрат их суммы. Выглядит это произведение следующим образом:

(a − b)(a2 ab   b2)

Первый многочлен (a − b) является разностью двух выражений, а второй многочлен (a2 ab   b2) является неполным квадратом суммы этих двух выражений.

Неполный квадрат суммы это многочлен вида a2 ab   b2. Он похож на обычный квадрат суммы a2 2ab  b2 за исключением того, что в нём произведение первого и второго выражений не удваивается.

Например, выражение 4×2 6xy  9y2 является неполным квадратом суммы выражений 2x и 3y.

Действительно, первый член выражения 4×2 6xy  9y2, а именно 4×2 является квадратом выражения 2x, поскольку (2x)

2 = 4×2. Третий член выражения 4×2 6xy  9y2, а именно 9y2 является квадратом выражения 3y, поскольку (3y)

Итак, умножим разность (a − b) на неполный квадрат суммы a2 ab  b2

(a − b)(a2 ab   b2) = a(a2 ab b2) − b(a2 ab   b2) =a3 a2b  ab2 − a2b − ab2 − b3 = a3 − b3

То есть выражение (a − b)(a2 ab   b2) равно a3 − b3

(a − b)(a2 ab   b2) = a3 − b3

Это тождество называют формулой умножения разности двух выражений на неполный квадрат их суммы. Эту формулу можно прочитать так:

Произведение разности двух выражений и неполного квадрата их суммы равно разности кубов этих выражений.

Пример 1. Выполнить умножение (2x − 3y)(4×2   6xy   9y2)

Первый многочлен (2x − 3y) это разность двух выражений 2x и 3y. Второй многочлен 4×2 6xy  9y2 это неполный квадрат суммы двух выражений 2x и 3y.

Это позволяет не приводя длинных вычислений, воспользоваться формулой (a − b)(a2 ab   b2) = a3 − b3. В нашем случае умножение (2x − 3y)

(2x − 3y)(4×2   6xy   9y2) = (2x)3 − (3y)3 = 8×3 − 27y3

Попробуем решить этот же пример, не пользуясь формулой (a − b)(a2   ab   b2) = a3 − b3. У нас получится тот же результат, но решение станет длиннее:

(2x − 3y)(4×2   6xy   9y2) = 2x(4×2   6xy  9y2) − 3y(4×2   6xy  9y2) =8×3   12x2y   18xy2 − 12x2y − 18xy2 − 27y3 = 8×3 − 27y3

Умножение суммы двух выражений на неполный квадрат их разности

Встречаются задачи, в которых требуется умножить сумму двух выражений на неполный квадрат их разности. Выглядит это произведение следующим образом:

(a   b)(a2 − ab   b2)

Первый многочлен (a   b) является суммой двух выражений, а второй многочлен (a2 − ab   b2) является неполным квадратом разности этих двух выражений.

Неполный квадрат разности это многочлен вида a2 − ab   b2. Он похож на обычный квадрат разности a2 − 2ab  b2 за исключением того, что в нём произведение первого и второго выражений не удваивается.

Например, выражение 4×2 − 6xy  9y2 является неполным квадратом разности выражений 2x и 3y. 

(2x)2 − 2x × 3y (3y)2 = 4×2 − 6xy  9y2

Вернёмся к изначальному примеру. Умножим сумму a   b на неполный квадрат разности a2 − ab  b2

(a   b)(a2 − ab   b2) = a(a2 − ab   b2) b(a2 − ab   b2) =a3 − a2b  ab2  a2b − ab2 b3 = a3 b3

То есть выражение (a   b)(a2 − ab   b2) равно a3 b3

(a   b)(a2 − ab   b2) = a3 b3

Это тождество называют формулой умножения суммы двух выражений на неполный квадрат их разности. Эту формулу можно прочитать так:

Произведение суммы двух выражений и неполного квадрата их разности равно сумме кубов этих выражений.

Пример 1. Выполнить умножение (2x   3y)(4×2 − 6xy   9y2)

Первый многочлен (2x 3y) это сумма двух выражений 2x и 3y, а второй многочлен 4×2 − 6xy  9y2 это неполный квадрат разности этих выражений.

Это позволяет не приводя длинных вычислений, воспользоваться формулой (a b)(a2 − ab   b2) = a3 b3. В нашем случае умножение (2x 3y)

(2x 3y)(4×2 − 6xy   9y2) = (2x)3 (3y)3 = 8×3  27y3

Попробуем решить этот же пример, не пользуясь формулой (a   b)(a2 − ab   b2) = a3   b3. У нас получится тот же результат, но решение станет длиннее:

(2x 3y)(4×2 − 6xy   9y2) = 2x(4×2 − 6xy  9y2) 3y(4×2 − 6xy  9y2) =8×3 − 12x2y   18xy2 12x2y − 18xy2  27y3 = 8×3 27y3

Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых

Пригодится, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два. 

(a1 a2 … an)2 = a12 a22 … an-12 an2 2 * a1 * a2 2 * a1 * a3 2 * a1 * a4 …

2 * a1 * an-1 2 * a1 * an 2 * a2 * a3 2 * a2 * a4 … 2 * a2 * an-1 2 * a2 * an …

2 * an-1 * an

Читается так: квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех этих слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.

Формула разности n-ых степеней двух слагаемых

an − bn = (a − b) * (an-1 an-2 * b an-3 * b2 … a * bn-2 bn-1).

Для четных показателей можно записать так:

a2*m − b2*m = (a2 − b2) *(a2*m−2 a2*m−4 * b2 a2*m−6 * b4 … b2*m−2).

Для нечетных показателей:

a2*m 1 − b2*·m 1 = (a − b) * (a2*m a2*m−1 * b a2*m−2 * b2 … b2*m).

Частными случаями являются формулы разности квадратов и кубов при n = 2 и n = 3. Для разности кубов b можно также заменить на −b.

Формулы сокращенного умножения

Вместо букв a, b могут быть любые числа, переменные или даже целые выражения. Для быстрого решения задач лучше выучить основные 7 формул сокращенного умножения (ФСУ) наизусть. Да, алгебра такая, нужно быть готовым много запоминать.

Ниже удобная табличка, которую можно распечатать и использовать, как закладку для быстрого запоминания формул.