Жаростойкий чугун: марки жаропрочного чугуна, принцип маркировки. Применение и ГОСТ. Литье из жаростойкого чугуна

6.1. Понятие частотных характеристик

Если подать на вход системы с передаточной функцией W(p) гармонический сигнал

то после завершения переходного процесса на выходе установится гармонические колебания

с той же частотой ,
но иными амплитудой и фазой, зависящими от частоты
возмущающего воздействия. По ним можно судить о динамических свойствах системы.
Зависимости, связывающие амплитуду и фазу выходного сигнала с частотой входного
сигнала, называются частотными характеристиками (ЧХ). Анализ ЧХ системы
с целью исследования ее динамических свойств называется частотным анализом.

Подставим выражения для u(t) и y(t) в уравнение динамики

(aоpⁿ
a₁pn — 1 a₂p^{n
— 2} … a_n)y = (bоp^m
b₁p^m-1
… b_m)u.

Учтем, что

а значит

pnu = pnU_mejwt = U_m
(jw)nejwt = (jw)nu.

Аналогичные
соотношения можно записать и для левой части уравнения. Получим:

По аналогии
с передаточной функцией можно записать:

.

W(j), равная
отношению выходного сигнала к входному при изменении входного сигнала по гармоническому
закону, называется частотной передаточной функцией. Легко заметить, что
она может быть получена путем простой замены p на j
в выражении W(p).

W(j) есть
комплексная функция, поэтому:

где P() — вещественная ЧХ (ВЧХ); Q() — вещественная ЧХ (ВЧХ); Q()
— мнимая ЧХ (МЧХ); А()
— амплитудная ЧХ (АЧХ): (()
— фазовая ЧХ (ФЧХ). АЧХ дает отношение амплитуд выходного и входного
сигналов, ФЧХ — сдвиг по фазе выходной величины относительно входной:

;

Если W(j)
изобразить вектором на комплексной плоскости, то при изменении от
0 до его конец будет
вычерчивать кривую, называемую годографом вектора W(j),
или амплитудно — фазовую частотную характеристику (АФЧХ) (рис.48).

Ветвь АФЧХ при изменении
от — до 0 можно получить
зеркальным отображением данной кривой относительно вещественной оси.

В ТАУ широко используются логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ)
(рис.49): логарифмическая амплитудная ЧХ (ЛАЧХ) L()
и логарифмическая фазовая ЧХ (ЛФЧХ)(().
Они получаются путем логарифмирования передаточной функции:

ЛАЧХ получают из первого слагаемого,
которое из соображений масштабирования умножается на 20, и используют не натуральный
логарифм, а десятичный, то есть L()
= 20lgA().
Величина L()
откладывается по оси ординат в децибелах. Изменение уровня сигнала на
10 дб соответствует изменению его мощности в 10 раз. Так как мощность гармонического
сигнала Р пропорциональна квадрату его амплитуды А, то изменению сигнала в 10
раз соответствует изменение его уровня на 20дб,так как

lg(P₂/P₁) = lg(A₂²/A₁²) = 20lg(A₂/A₁).

По оси абсцисс откладывается частота w в логарифмическом масштабе. То есть
единичным промежуткам по оси абсцисс соответствует изменение w в 10 раз. Такой
интервал называется декадой. Так как lg(0) = — ,
то ось ординат проводят произвольно.

ЛФЧХ, получаемая из второго слагаемого, отличается от ФЧХ только масштабом
по оси . Величина
(()
откладывается по оси ординат в градусах или радианах. Для элементарных звеньев
она не выходит за пределы: — .

ЧХ являются исчерпывающими характеристиками системы.
Зная ЧХ системы можно восстановить ее передаточную функцию и определить параметры.

6.2.
Частотные характеристики типовых звеньев

Зная передаточную функцию звена W(p) легко получить все его частотные характеристики.
Для этого необходимо подставить в нее j
вместо p, получим АФЧХ W(j).
Затем надо выразить из нее ВЧХ P()
и МЧХ (Q().
После этого преобразуют АФЧХ в показательную форму и получают АЧХ A()
и ФЧХ ((),
а затем определяют выражение ЛАЧХ L(w) = 20lgA()
(ЛФЧХ отличается от ФЧХ только масштабом оси абсцисс).

6.2.1. Безынерционное звено

Передаточная функция:

W(p) = k.

АФЧХ: W(j)
= k.

ВЧХ: P() = k.

МЧХ: Q() = 0.

АЧХ: A() = k.

ФЧХ: (() = 0.

ЛАЧХ: L() = 20lgk.

Некоторые ЧХ показаны на рис.50. Звено пропускает все частоты
одинаково c увеличением амплитуды в k раз и без сдвига по фазе.

6.2.2.
Интегрирующее звено

Передаточная функция:

W(p) = k/p.

Рассмотрим частный случай, когда k = 1, то есть

W(p) = 1/p.

АФЧХ: W(j) = ) = .

ВЧХ: P()
= 0.

МЧХ: Q()
= — 1/.

АЧХ: A()
= 1/.

ФЧХ: (()
= — /2.

ЛАЧХ: L()
= 20lg(1/)
= — 20lg().

ЧХ показаны на рис.51. Все частоты звено пропускает с запаздыванием по фазе
на 90^о. Амплитуда выходного сигнала увеличивается при уменьшении частоты, и
уменьшается до нуля при росте частоты (звено «заваливает» высокие
частоты). ЛАЧХ представляет собой прямую, проходящую через точку L()
= 0 при = 1. При увеличении частоты
на декаду ордината уменьшается на 20lg10 = 20дб, то есть наклон ЛАЧХ равен —
20 дб/дек (децибел на декаду).

6.2.3. Апериодическое звено

При k = 1 получаем следующие выражения
ЧХ:

W(p) = ;

;

;

;

(()
= 1 — 1 — 2
= — arctg(T);

;

L()
= 20lg(A())
= — 10lg(1 (T)2).

Здесь A1 и A2 — амплитуды числителя и знаменателя ЛФЧХ; 1
и 2 — аргументы
числителя и знаменателя. ЛФЧХ:

ЧХ показаны на рис.52. АФЧХ есть полуокружность радиусом 1/2 с центром в точке
P = 1/2. При построении асимптотической ЛАЧХ считают, что при
< ₁ = 1/T можно
пренебречь (T)²
выражении для L(),
то есть L() ) —
10lg1 = 0.. При > >₁
пренебрегают единицей в выражении в скобках, то есть L(w)
— 20lg(wT). Поэтому ЛАЧХ проходит вдоль оси абсцисс до сопрягающей частоты,
затем — под наклоном — 20 дб/дек. Частота w1 называется сопрягающей частотой.
Максимальное отличие реальных ЛАЧХ от асимптотических не превышает 3 дб при
= = ₁.

ЛФЧХ асимптотически стремится к нулю при уменьшении w до нуля (чем меньше частота,
тем меньше искажения сигнала по фазе) и к — /2
при возрастании до бесконечности.
Перегиб в точке = = ₁
при (()
= — /4. ЛФЧХ всех апериодических
звеньев имеют одинаковую форму и могут быть построены по типовой кривой с параллельным
сдвигом вдоль оси частот.

6.2.4. Инерционные звенья второго
порядка

При k = 1 передаточная функция звена: W(p) = .

В виду сложности вывода выражений для
частотных характеристик рассмотрим их без доказательства, они показаны на рис.53.

Асимптотическая ЛАЧХ колебательного звена до сопрягающей частоты ₁
= 1/T₁ совпадает с осью абсцисс, при дальнейшем увеличении частоты идет с наклоном
— 40 дб/дек. То есть высокие частоты колебательное звено «заваливает»
сильнее, чем апериодическое звено.

Реальная ЛАЧХ при ₁
значительно отличается от асимптотической. Это отличие тем существенней, чем
меньше коэффициент демпфирования .
Точную кривую можно построить, воспользовавшись кривыми отклонений, которые
приводятся в справочниках. В предельном случае =
0 получаем консервативное звено, у которого при ₁
амплитуда выходных колебаний стремится к бесконечности (рис.54).

ЛФЧХ при малых частотах асимтотически стремится к нулю. При увеличении
частоты до бесконечности выходной сигнал поворачивается по фазе относительно входного
на угол, стремящийся в пределе к — 180^о. ЛФЧХ можно построить с помощью шаблона,
но для этого нужен набор шаблонов для разных коэффициентов демпфирования. При
уменьшении коэффициента демпфирования АФЧХ приближается к оси абсцисс и в пределе
у консервативного звена она вырождается в два луча по оси абсцисс, при этом фаза
выходных колебаний скачком меняется от нуля до — 180^о при переходе через сопрягающую
частоту (рис.54).

6.2.5. Правила построения ЧХ
элементарных звеньев

При построении ЧХ некоторых звеньев
можно использовать “правило зеркала”: при k = 1 ЛАЧХ и ЛФЧХ звеньев с
обратными передаточными функциями зеркальны относительно горизонтальной оси.
Так на рис.55 изображены ЧХ идеального дифференцирующего и идеального форсирующего
звеньев.

Если k1,
то передаточную функцию звена можно рассматривать как произведение W =
k.W₁, где W₁ — передаточная функция
с k = 1. При этом амплитуда вектора АФЧХ W(j)
при всех значениях
должна быть увеличена в k раз, то есть A()
= kA₁(). Поэтому,
например, центр полуокружности АФЧХ апериодического звена будет находиться не
в точке P = 1/2, а в точке k/2. ЛАЧХ также изменится: L()
= 20lgA() = 20lgkA₁() = 20lgkA₁()
= 20lgk 20lgA₁().
Поэтому при k 1
ЛАЧХ звена нужно поднять по оси ординат не меняя ее формы на 20lgk. На ЛФЧХ
изменение k никак не отразится.

Для примера на рис.56 приведены частотные характеристики апериодического звена при k = 10 и T = 1c. При этом ЛАЧХ апериодического звена с k = 1 поднята вверх на 20lg10 = 20.

Вопросы

1. Что называется частотными
   характеристиками?
2. Как получить частотные характеристики опытным путем?
3. Как
   получить частотные характеристики теоретическим путем по известной передаточной
   функции звена?
4. Что такое и как получить АФЧХ?
5. Что такое и как
   получить ВЧХ?
6. Что такое и как получить МЧХ?
7. Что такое и как получить
   АЧХ?
8. Что такое и как получить ФЧХ?
9. Что такое и как получить ЛАЧХ?
10. Что
    такое и как получить ЛФЧХ?
11. Как построить годограф АФЧХ?
12. Постройте
    АФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ безынерционного звена.
13. Постройте АФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ
    интегрирующего звена.
14. Постройте АФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ апериодического звена.
15. Постройте
    АФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ колебательного звена.
16. Постройте АФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ консервативного
    звена.
17. Постройте ЛАЧХ и ЛФЧХ идеального дифференцирующего звена.
18. Постройте
    ЛАЧХ и ЛФЧХ идеального форсирующего звена.
19. Как изменятся ЛАЧХ и ЛФЧХ
    звена, если коэффициент усиления возрастет в 100 раз?
20. Для чего служит
    правило зеркала.

Далее…